UVA11300(数学思维题)

本文探讨了一种金币分配问题,n个人围成一圈,每人有一定数量的金币,需将部分金币分配给左右邻居,使分配总和最小。通过数学分析,转化为数轴上点到一组特定点集合距离的最小化问题,最终确定了解决方案为寻找中位数。

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题意

  nnn 个人围成一桌,每个人都有 aia_iai 个金币,他们可以将一部分金币分给左手边的一个人和有手边的一个人。设每个人分给其他人的金币数量为 xix_ixi,求所有的 xxx 加起来最小是多少。注意,每个人只能将金币给他相邻的人。题目保证金币总和能被 nnn 整除。

分析

  设第iii个人给他左边伙计的金币数量为xix_ixi,当 xi&lt;0x_i&lt;0xi<0 表示其左边的人给他金币。那么有一个守恒关系:任何一个人在给出了或者得到金币以后,最后金币数都相等。ai−xi+xi+1=Ma_i-x_i+x_{i+1}=Maixi+xi+1=M
有了这个以后我们可以得到下面的这个表格

111a1−x1+x2=Ma_1-x_1+x_2=Ma1x1+x2=M
222a2−x2+x3=Ma_2-x_2+x_3=Ma2x2+x3=M
333a3−x3+x4=Ma_3-x_3+x_4=Ma3x3+x4=M
..................
n−1n-1n1an−1−xn−1+xn=Ma_{n-1}-x_{n-1}+x_n=Man1xn1+xn=M
nnnan−xn+x1=Ma_n-x_n+x_1=Manxn+x1=M

下面我们做一个变形:从第一行开始,将当的等式加到下面一行。这样我们看第二个等式更新为了 a1+a2−x1+x3=2Ma_1+a_2-x_1+x_3=2Ma1+a2x1+x3=2M,消去了x2x_2x2。然后再将这个更新以后的式子加到第三行。那么第三行就更新为 a1+a2+a3−x1+x4=3Ma_1+a_2+a_3-x_1+x_4=3Ma1+a2+a3x1+x4=3M,消去了x3x_3x3。这样更新了所有的等式以后结果如下表。

111a1−x1+x2=Ma_1-x_1+x_2=Ma1x1+x2=M
222a1+a2−x1+x3=2Ma_1+a_2-x_1+x_3=2Ma1+a2x1+x3=2M
333a1+a2+a3−x1+x4=3Ma_1+a_2+a_3-x_1+x_4=3Ma1+a2+a3x1+x4=3M
..................
n−1n-1n1(a1+a2+...+an−1)−x1+xn=(n−1)M(a_1+a_2+...+a_{n-1})-x_{1}+x_n=(n-1)M(a1+a2+...+an1)x1+xn=(n1)M
nnn(a1+a2+...+an)−x1+x1=nM(a_1+a_2+...+a_n)-x_1+x_1=nM(a1+a2+...+an)x1+x1=nM

其中aia_iai是我们已知的,所以全部的等式都变成了与 x1,xix_1, x_ix1,xi 有关的了。显然,最后一个等式是一个恒等式,这里我们将其删除。然后将除 x1x_1x1 的变量提到一边。

111x2=x1−(a1−M)x_2=x_1-(a_1-M)x2=x1(a1M)
222x3=x1−(a1+a2−2M)x_3=x_1-(a_1+a_2-2M)x3=x1(a1+a22M)
333x4=x1−(a1+a2+a3−3M)x_4=x_1-(a_1+a_2+a_3-3M)x4=x1(a1+a2+a33M)
..................
n−1n-1n1xn−1=x1−[a1+a2+a3+an−1−(n−1)M]x_{n-1}=x_1-[a_1+a_2+a_3+a_{n-1}-(n-1)M]xn1=x1[a1+a2+a3+an1(n1)M]

如上表,我们最后的答案要求的是每个人转移的金币之和的最小值,也就是∣x1∣+∣x2∣+...+∣xn∣|x_1|+|x_2|+...+|x_n|x1+x2+...+xn 的最小值。那么将上面的式子代代入进来我们可以看出就是求数轴上x1到0,(a1−M),(a1+a2−2M)...[a1+a2+..an−1−(n−1)M]的最小值数轴上x1到0, (a1-M),(a1+a2-2M)...[a_1+a_2+..a_{n-1}-(n-1)M]的最小值x10,(a1M),(a1+a22M)...[a1+a2+..an1(n1)M]
这个最小是应当是这些数的中位数。这个可以这么理解,假设这个点在xxx,xxx左边有a个点,右边有bbb个点,且a&lt;ba&lt;ba<b。那么如果x往右边偏移很小很小的一点,则左边的距离和会增加adadad,右边的会减少bdbdbd,而b&gt;ab&gt;ab>a,则肯定要往右边移动。那么我们可以判断出来,只有当a==ba==ba==b的情况下才最小,如果总数是奇数个的话就是中位数,不然中间两个数之间的任意位置都能取最小。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e6;
ll a[MAXN+5],c[MAXN+5];
int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ll all = 0;
        for (int i =0;i < n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            all += a[i];
        }
        ll m = all/n;
        c[0] = 0;
        for (int i = 1;i < n;i++)
        {
            c[i] = c[i-1] + m - a[i];
        }
        sort(c,c+n);
        ll x = c[n/2];
        ll ans = 0;
        for (int i = 0;i<n;i++)
            ans += abs(x-c[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
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