8、现代私钥加密中的伪随机生成器与安全证明

现代私钥加密中的伪随机生成器与安全证明

1. 加密方案的安全性定义等价性

在加密领域，有两个重要的安全性定义，定义 3.12 对加密方案应提供的安全保障给出了非常强且有说服力的表述，而定义 3.8 则更便于使用。幸运的是，这两个定义是等价的。定理 3.13 表明，一个私钥加密方案在存在窃听者的情况下具有不可区分的加密（即 EAV - 安全），当且仅当它在存在窃听者的情况下是语义安全的。这意味着我们可以使用更简单的定义作为工作定义，同时确保它蕴含了语义安全的强保障。

2. 构建 EAV - 安全加密方案的准备：伪随机生成器

在构建安全的加密方案之前，需要引入伪随机生成器（PRGs）的概念，它是私钥加密的重要组成部分，也将引出对伪随机性的讨论，而伪随机性在密码学，特别是私钥加密中起着基础作用。

2.1 伪随机生成器的基本概念

伪随机生成器 G 是一种高效的确定性算法，用于将短的均匀字符串（称为种子）转换为更长的、“看起来均匀”（或“伪随机”）的输出字符串。也就是说，它利用少量的真随机性来生成大量的伪随机性。这在需要大量随机（看似随机）比特时非常有用，因为生成真随机比特通常既困难又缓慢。

自 20 世纪 40 年代以来，伪随机生成器就被用于统计模拟。当时，研究人员提出了各种统计测试，一个好的伪随机生成器应该通过这些测试。例如，要求伪随机生成器输出的第一位为 1 的概率非常接近 1/2，因为均匀字符串的第一位为 1 的概率恰好是 1/2；任何固定子集输出比特的奇偶性为 1 的概率也应非常接近 1/2。还可以考虑更复杂的统计测试。

然而，这种通过统计测试来确定伪随机生成器质量的历史方法并不令人满意。因为