16、图学习、网络科学与自然语言处理中的关键技术

图学习、网络科学与自然语言处理中的关键技术

1. 完美 HB 颜色矩阵相关内容

1.1 PHBCM 示例与性质

1.1.1 示例

以图 K 为例，它有四个顶点、六条边和三个区域。图 K 的 PHBCM（完美 HB 颜色矩阵）如图所示。

1.1.2 性质

• PHBCM 是一个对角元素为 ∞ 的对称矩阵。
• 矩阵中的 0 元素对应任意两个非相邻元素。
• 矩阵中的 ∞ 元素对应任意两个相邻元素。
• 如果 PHBCM 的某一行或某一列全为 ∞ 元素，那么该元素与其余所有元素相邻。

1.2 相关定理

1.2.1 定理 8.1

对于具有 n 个顶点的空图 Nn，其 PHBCM 的每一行恰好包含两个 ∞。
证明：空图 Nn 有 n 个孤立顶点且无边缘。根据 PHBCM 的性质，矩阵的对角元素为 ∞。同时，开放区域与空图的每个顶点相邻，所以对应开放区域的列处处为 ∞，得证。

1.2.2 定理 8.2

如果简单图 H 的 PHBCM 中有一行或一列全为 ∞，那么图 H 是线图、星图、梳状图或树。
证明：考虑简单图 H 为线图、星图、梳状图或树的情况。图的元素（如边和顶点）与开放区域相邻，因此在其 PHBCM 中，对应开放区域的行或列全为 ∞，得证。

1.2.3 定理 8.3

如果 Cn 是具有 n 个顶点的循环图，那么其 PHBCM 中恰好有两行或两列全为 ∞。
证明：循环