[NOIP2015 普及组] 求和

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本文介绍了NOIP2015普及组的求和问题，通过两种算法解决：暴力枚举（时间复杂度O(n*n)）和数学计算优化（时间复杂度O(n)）。优化算法涉及多项式简化和数列计算，适用于满足特定条件的三元组求和。

[NOIP2015 普及组] 求和 - 洛谷

题意分析

根据特殊三元组的满足条件，将三元组转化为二元组：

1.x、z是整数，x<z，x、z奇偶相同

2.color x = color z

算法一：暴力枚举（PTS 40）

毕竟是二元组，只要枚举不同的x,z，判断是否满足条件，满足条件就加到ans上。

~~非常简单~~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int col[N],num[N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&num[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&col[i]);
	int ans=0;
	for(int i=2;i<=n-1;++i)
	{
		for(int j=1;j<i;++j)
		{
			if(col[i*2-j]==col[j])
			{
				ans+=(i*2)*(num[i*2-j]+num[j]);
				ans%=10007;
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

时间复杂度：O(n*n)

算法二：数学计算优化（PTS 100）

每个三元组的分值是一个多项式，最终结果是多个同类型多项式的和，我们不妨化简一下这些多项式。

接下来是考验数学功底了

设S(x,z)=(x + z) * (num[x] + num[z]) = x * num[x] + x * num[z] + z * num[x] + z * num[z]

假设已知z(z为一个常数)，，设p为总的三元组的个数，那么满足条件的所有三元组分值和为：

（分开来写方便下面理解代码）

加数1：x1 * num[x1] + x2 * num[x2] + ...... + xp * num[xp]

加数2：(1 + 2 + ...... + p) * num[z]

加数3：(num[1] + num[2] + ...... + num[p]) * z

加数4：p * (z * num[z])

将上述式子推广一下：将x,z全部看成是一个未知数，并分奇数数列和偶数数列分开计算，最后一次循环解决问题。

代码~代码~代~码~

//calculate:(x+z)*(num[x]+num[z])=x*num[x]+z*num[z]+x*num[z]+z*num[x]
//z确定,p为三元组个数,则x:
//(x1*num[x1]+x2*num[x2]+...+xp*num[xp])
//+(1+2+...+p)*num[z]
//+(num[1]+num[2]+...num[p])*z
//+p*(z*num[z])
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
long long  col[N],num[N];
long long sum1[N][2],sum2[N][2],sum3[N][2],sum4[N][2];
long long ans; 
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&num[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&col[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		ans+=sum1[col[i]][i%2];
		ans%=10007;
		ans+=((sum2[col[i]][i%2]%10007)*num[i])%10007;
		ans%=10007;
		ans+=((sum3[col[i]][i%2]%10007)*i)%10007;
		ans%=10007;
		ans+=((sum4[col[i]][i%2]%10007)*(i*num[i]))%10007;
		ans%=10007;

		sum1[col[i]][i%2]+=(i*num[i])%10007;
		sum1[col[i]][i%2]%=10007;
		sum2[col[i]][i%2]+=i;
		sum2[col[i]][i%2]%=10007;
		sum3[col[i]][i%2]+=num[i];
		sum3[col[i]][i%2]%=10007;
		sum4[col[i]][i%2]++;
		sum4[col[i]][i%2]%=10007;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

记得取模啊！！！

时间复杂度：O(n)

ps:本人太懒~~（其实是太逊）~~不想写数学推导过程，不会的可以自行去看洛谷。