【NOIP 2015 普及组】金币

题目描述

题目链接：SOJ P1147

国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天）里，每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天）里，每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天）里，每天收到四枚金币 $\dots$ 这种工资发放模式会一直这样延续下去：当连续 $n$ 天每天收到 $n$ 枚金币后，骑士会在之后的连续 $n+1$ 天里，每天收到 $n+1$ 枚金币（$n$ 为任意正整数）。

你需要编写一个程序，确定从第一天开始的给定天数内，骑士一共获得了多少金币。

时间限制：1 s
内存限制：128 MB

• 输入
  一个正整数，表示天数。范围 $1$ 到 $10000$。
• 输出
  骑士获得的金币数。
• 样例输入

  6
  

• 样例输出

  14
  

思路分析

乍看之下，此题可以用双层循环来解决。这里没有什么理论分析，我们直接讲代码。

首先定义一个计数器变量 coin，初始值为 $1$，用于表示每天需要发放给骑士的金币数量。另设一个累加器变量 total，初始值为 $0$，用于表示骑士获得的金币总数。

然后用外层循环来记录已发放金币的总天数，用内层循环来发放金币，当然了，内层循环也需要控制已发放金币的总天数。具体来讲，每发放一次金币，就需要累加一天。在下面的代码中，变量 i 和 day 都是用来记录天数的，i 用来记录 coin 枚金币发放的天数，day 用来记录已发放金币的总天数。每当内层循环结束之后，coin 的值需要加一。该算法的时间复杂度为 $O(n)$。

/*
 * Name: coin1.cpp
 * Problem: 金币
 * Author: Teacher Gao.
 * Date&Time: 2024/03/07 23:26
 */

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
   
    int n;
    cin >> n;
      
    int total = 0, coin = 1;
    for (int day = 1; day <= n; ) {
   
        for (int i = 1; i <= coin && day <= n; i++) {
   
            total += coin;
            day++;
        }
        coin++;
    }
     
    cout << total << endl;
    
    return 0;
}

仔细研究题目描述之后，不难发现国王每天给骑士发放的金币数量呈现如下规律：
$$\begin{array}{cccc}1& & & \\ 2& 2& & \\ 3& 3& 3& \\ 4& 4& 4& 4\\ 5& 5& ...& \end{array}$$

也就是说，金币总数为 $total=1^2$