【学习笔记】异或

基本定义

异或，常用的二进制运算符，数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor（^）”。

其基本运算式为：a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)，所以在二进制下有以下运算规律：

a	b	a⊕b
0	0	0
1	1	0
1	0	1
0	1	1

因此异或又叫做半加运算，就是指在二进制下的不进位加法运算，所以其运算律也有和加法重合的地方。

运算律

• 交换律：a⊕b=b⊕a
• 结合律：a⊕（b⊕c）=（a⊕b）⊕c
• 归零律：a⊕a=0
• 恒等律：a⊕0=a
• 自反性：a⊕b⊕b=a
• 转换律：若d=a⊕b⊕c，那么a=d⊕b⊕c
• 独立性：两个十进制数做异或运算，结果是两个数二进制下对应每一位进行异或运算获得的二进制数的十进制值

关于异或的相关定理以及用处

定理：两个数的异或值一定不大于这两个数的和，即

                                                        

证明：异或为不进位加法，当出现进位时易证得异或值一定小于和，当且仅当没有进位时，异或值等于和

例题分析

[MtOI2019]永夜的报应 - 洛谷

蓬莱山 辉夜(Kaguya)手里有一堆数字。

辉夜手里有 n 个非负整数 a1,a2⋯an，她希望将这些数分成若干组，满足 n 个数中的每一个数都恰好被分到了一个组中，且每一组至少包含一个数。我们定义一组数的权值为该组内所有数的异或和。辉夜想求出一种分组方案，使得分出的所有组数的权值之和最小。由于辉夜去打 Gal Game 去了，她希望智慧的你来帮忙，输出权值之和的最小值。

题意分析

利用上面写到的定理，我们不难得出，异或之和的最小值就是这n个数作异或的结果，直接循环求异或就完事了。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[1000010];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	int sum=a[1];
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		sum^=a[i];
	}
	printf("%d",sum);
	return 0;
} 

应用一 ：交换两个数的值

void swap(int a,int b)
{
	a = a ^ b;
	b = a ^ b;
	a = a ^ b;  
} 

 具体证明过程读者可以自己去推演，这里不过多赘述。

应用二：从A集合中拿走一个数x得到B集合，求x

设XOR（A）为A中所有数异或的值，XOR（B）同理，那么：

                

 应用三：集合A中只有x出现了两次，其余数均只出现了一次，求x

                                                         

 

 后记：文章如有错误请不吝赐教，万分感谢。