40、稀疏图中子图计数的动态数据结构

稀疏图中子图计数的动态数据结构

在图论和算法领域，对图的子图进行计数是一个重要且具有挑战性的问题。特别是在动态图的场景下，即图的结构会随着时间变化（如添加或删除边），如何高效地进行子图计数成为了研究的焦点。本文将介绍一种用于稀疏图中子图计数的动态数据结构，该结构在时间复杂度和空间复杂度上都有较好的表现。

1. 相关背景与已有成果

• 不同数据结构的特点 ：在图的研究中，有多种数据结构可用于不同的图属性测试。Dvoˇr´ak、Kr´al’和Thomas提出的一种数据结构用于一阶测试，对于固定的一阶公式 φ 和有界扩张的图类 C，该数据结构可以在 $O(|V (G)|)$ 时间内初始化，并能在常数时间内测试图是否满足 φ。但它是半动态的，边的添加有限制，只能添加之前删除过的边。而本文所开发的数据结构主要用于诱导子图测试，处理的是有界扩张（或无处稠密）关系结构类的存在性一阶属性。
• 非动态场景下的算法 ：在非动态场景，即图只进行一次测试时，不同的研究者有不同的成果。Eppstein 为平面图给出了线性时间算法；Frick 和 Grohe 将其推广到局部有界树宽图的一阶属性测试；Neˇsetˇril 和 Ossona de Mendez 推广到无处稠密图的子图测试；Dvoˇr´ak、Kr´al’和 Thomas 推广到局部有界扩张图的一阶属性测试。然而，当图没有任何限制时，子图问题是 W[1]-难的，目前已知的最佳通用算法基于矩阵乘法，如 Neˇsetˇril 和 Poljak 给出的 $O(|V (G)|^{\omega}|V (H)|/3)$ 时间算法，后续也有相关改进。