15、在线子模最大化与多路割问题的研究进展

在线子模最大化与多路割问题的研究进展

1. 在线子模最大化：更强上界证明

在在线子模最大化领域，我们致力于证明一个具有特定界限（19/33）的定理。证明过程与之前的方法类似，但所需使用的集合系统更为复杂。

1.1 构建分区拟阵与子模函数

我们构建了一个基于包含 32 个元素的基集 $N$ 的分区拟阵，同时定义了一个非负单调子模函数 $f: 2^N \to R_{\geq 0}$。基集 $N$ 中的元素分为以下四种类型：
- $o_1, o_2, o_3, o_4$
- $x_1, x_2, x_3, x_4$
- 对于不同的 $i, j \in {1, 2, 3, 4}$，有 $y_{ij}$
- 对于不同的 $i, j, k \in {1, 2, 3, 4}$，有 $z_{ijk}$（忽略前两个索引的顺序，即 $z_{ijk}$ 和 $z_{jik}$ 表示同一元素）

分区拟阵由将基集划分为四个部分 $P_1, P_2, P_3, P_4$ 来定义，其中部分 $P_i$ 由 $o_i, x_i, y_{ji}, z_{jki}$ 这 8 个元素组成。

1.2 定义加权覆盖函数

函数 $f$ 是一个加权覆盖函数。用于定义该函数的全集 $U$ 包含 28 个元素：$U = {a_i, b_i, c_i, d_i, e_i, f_i, g_i : i \in {1, 2, 3, 4}}$。全集中元素的权重由函数 $w: U \to R_{\geq 0}$ 给出，具体权重如下表所示：
| $v$ | $a_i$ | $b_i$ | $c_i$ | $d_i$ | $e_