8、整数线性规划中结构化对称的子对称破缺不等式

整数线性规划中结构化对称的子对称破缺不等式

1. 引言

在整数线性规划（ILP）里，对称性会对求解过程造成不利影响，尤其是当对称解致使分支定界（B&B）搜索树规模过大时。为应对这类问题，有多种对称破缺技术（SBT）可供使用。

1.1 对称性与子对称性的定义

对于形如 (ILP) min{cx | x ∈ X}（其中 c ∈ Rⁿ，X ⊆ P(m, n)，P(m, n) 为 m × n 二进制矩阵的集合）的整数线性规划问题，对称性指的是指标 {(i, j) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} 的一个排列 π，使得对于任意解矩阵 x ∈ X，矩阵 π(x) 同样是解，且具有相同的成本，即 π(x) ∈ X 且 c(x) = c(π(x))。(ILP) 的对称群 G 是所有这样的排列构成的集合，它会将解集合 X 划分为轨道，也就是若存在 G 中的一个排列能将两个矩阵相互转换，那么这两个矩阵就处于同一轨道。

子问题是 (ILP) 限制在 X 的一个子集上的问题。在解子集里出现的对称性被称作子对称性，这类子对称性或许在对称群 G 中未被察觉。

1.2 现有对称破缺技术

• 变量聚合重写 ：借助整数变量对沿轨道的变量进行求和，以此重写问题。这种方式能够聚合变量，从而减小所得 ILP 的规模，但仅在解可分解时才能使用，例如当整数分解性质成立时。
• 选取代表解 ：在每个轨道中挑选一个解作为代表，然后把解集合限制为所有代表解的集合。最常见的代表解选择方式是基于字典序。若存在 i ∈ {1, …, m -