9、整数线性规划结构化对称的子对称破缺不等式应用与分析

整数线性规划结构化对称的子对称破缺不等式应用与分析

1. 集合(\hat{S})的定义与性质

集合(\hat{S})定义为(\hat{S} = { \hat{Q} s(k, l) | s \in{1, \ldots, q}, k \in{1, \ldots, |R_s|}, l \in {2, \ldots, |C_s|}})。对于每个(s \in{1, \ldots, q})，(l \in{2, \ldots, |C_s|})，(k \in{1, \ldots, |R_s|})，(\hat{Q}_s(k, l) = {x \in Q_s | x {r,c_{s_{l - 1}}} = x_{r,c_{s_l}}, \forall r \in{r_{s_1}, \ldots, r_{s_{k - 1}}})。

这里有两个重要的性质：
- 对于解(x \in Q_s)，若列(c_{s_{l - 1}})和(c_{s_l})从行(r_{s_1})到(r_{s_{k - 1}})相等，那么四重元((Q_s, k, l, x))对应的集合就是(\hat{Q}_s(k, l))。
- 对于(l \in{2, \ldots, |C_s|})，有(\hat{Q}_s(1, l) = Q_s)。

由此可得引理：集合(\hat{S})满足条件((C))，并且(P_{sub}(\hat{S}) = P_{sub}(S))。根据定理 1，不等式((Q(c, c’)))（其中(c < c’ \in C)，(Q \in \hat{S})）对于由(S)定义的子对称是完全对称破缺的。

2. 对称群情况的应用

当对称群(