17、群论中的直积与有限阿贝尔群的基本定理

群论中的直积与有限阿贝尔群的基本定理

1. 外部直积与内部直积的概念

在群论中，有两种构造新群的重要方式：外部直积和内部直积。外部直积是将两个或多个不相关的群组合起来，形成一个具有新二元运算的新群。而内部直积则是利用群 (G) 的正规子群以及 (G) 的运算来构建新群。

2. 内部直积的定义与性质

• 定义 ：设 (K_1, K_2, \cdots, K_n) 是群 (G) 的有限个正规子群。若满足以下两个条件，则 (G) 是 (K_1, K_2, \cdots, K_n) 的内部直积，记为 (G = K_1 \times K_2 \times \cdots \times K_n)：
  • (G = K_1 K_2 \cdots K_n = {k_1k_2 \cdots k_n : k_i \in K_i})
  • ((K_1 K_2 \cdots K_i) \cap K_{i + 1} = {e})，对于 (i = 1, 2, \cdots, n - 1)
• 等价条件 ：(G) 是 (K_1, K_2, \cdots, K_n) 的内部直积，当且仅当 (G = K_1K_2 \cdots K_n) 且任意 (g \in G) 可以唯一地表示为 (g = k_1k_2 \cdots k_n)，其中 (k_i \in K_i)。
• 同构定理 ：若 (G) 是 (K_1, K_2, \cdots, K_n) 的内部直积，则 (G) 同构于 (K_1,