本文介绍了近世代数中的内直积概念，详细阐述了内直积的定义、性质以及充要条件。通过实例分析了如何判断一个群是两个子群的内直积，并证明了内直积的惟一性。内容涵盖群论基础，适合初学者加深理解和记忆。
近世代数--内直积--内直积是什么？充要条件？
博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。
通过直积，我们可以把若干个小群组合成一个大群，也可以把一个大群分解成一些子群的乘积。
内直积：(internal direct product)
- H ◃ G , K ◃ G H\triangleleft G,K\triangleleft G H◃G,K◃G,
- G = H K G=HK G=HK
- H ∩ K = { e } H\cap K=\{e\} H∩K={ e}
- 则 G G G是 H H H和 K K K的内直积
内直积性质：
性质1： G G G是 H H H和 K K K内直积的充分必要条件：
H ⊂ G , K ⊂ G , H\subset G,K\subset G, H⊂G,K⊂G,
- G G G中每个元可惟一表示为 h k hk hk的形式， h ∈ H , k ∈ K h\in H,k\in K h∈H,k∈K；
- ∀ h ∈ H , ∀ k ∈ K , \forall h\in H,\forall k \in K, ∀h∈H,∀k∈K,有 h k = k h hk=kh hk=kh
证明：
-
G G G是 H H H和 K K K内直积 → G \rightarrow G →G中每个元可惟一表示为 h k hk hk的形式， h ∈ H , k ∈ K ； h\in H,k\in K； h∈H,k∈K；且 ∀ h ∈ H , ∀ k ∈ K , \forall h\in H,\forall k \in K, ∀h∈H,∀k∈K,有 h k = k h hk=kh hk=kh
- 证 G G G中每个元可惟一表示为 h k hk hk的形式， h ∈ H , k ∈ K ； h\in H,k\in K； h∈H,k∈K；
假设 ∀ g ∈ G , \forall g\in G, ∀g∈G,可以写成
g = h k = h ′ k ′ , h
- 证 G G G中每个元可惟一表示为 h k hk hk的形式， h ∈ H , k ∈ K ； h\in H,k\in K； h∈H,k∈K；
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
1338
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
