1、群论基础：从对称概念到群的定义

群论基础：从对称概念到群的定义

1. 对称的概念

对称是一个广泛且在艺术和自然中都非常重要的主题，数学是其基础。德国数学家赫尔曼·外尔曾说：“对称是一个庞大的主题，在艺术和自然中都意义重大。数学是它的根源，很难找到一个更好的主题来展示数学思维的运作。”

自然界和宇宙中存在着无数的对称现象，我们的艺术和科学都源于对这种神奇现象的惊叹。艺术试图合成这种自然对称，而科学则试图分析它。在科学（物理、化学、生物学）中，任何与对称有关的内容都依赖于群论这一数学工具。例如，化学家使用对称群对分子进行分类并预测它们的许多化学性质，群论甚至还延伸到了现代密码学等令人兴奋的领域。

那么，什么是对称呢？简单来说，当我们说一个形状是对称的，意味着我们可以将其对折，使两半完全重合，即形状的一半与另一半完全匹配。从数学角度看，对称意味着一个形状通过某种方式（旋转、翻转或平移）移动后能与另一个形状完全相同。

以等边三角形为例，我们将其从平面中取出，进行某种移动后再放回原位，看看有多少种可能的方式。我们将等边三角形的三个角标记为 a、b 和 c，考虑所有可能的运动并关联起始和最终位置：
1. 0°旋转 ：标记为 R0，三角形位置不变。
2. 120°旋转 ：标记为 R120，顶点位置按顺序循环。
3. 240°旋转 ：标记为 R240，顶点位置再次循环。
4. 关于过顶点 a 的轴反射 ：标记为 FA。
5. 关于过顶点 b 的轴反射 ：标记为 FB。 <