层次分析法(AHP)介绍

层次分析法(AHP)

简介

层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP),是美国匹兹堡大学数学系教授，著名运筹学家萨迪(T.L.Saaty)于 70 年代中期提出来的一种将定性与定量相结合的、系统化、层次化的多属性决策分析方法。

在多属性决策问题中，通常具有以下共同特点：

1. 属性之间通常是相互冲突和不可公度的(属性量纲不同)；
2. 在属性集中，可能同时存在定性属性和定量属性；
3. 属性经常构成一个层次结构；
4. 决策信息有时是不完全的，决策者只能提供决策参数的不完全信息；
5. 决策者的判断可能是不确定的，即没有100%的把握做出主观判断。

综合评价方法总体上可归为两大类：即主观赋权评价法和客观赋权评价法。前者多是采取定性的方法，由专家根据经验进行主观判断而得到权数，如层次分析法、模糊综合评判法等；后者根据指标之间的相关关系或各项指标的变异系数 来确定权数，如灰色关联度法、TOPSIS法、主成分分析法等。

层次分析法的主要思想是通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，对两两指标之间的重要程度作出比较判断，建立判断矩阵，通过计算判断矩阵的最大特征值以及对应特征向量，就可得出不同方案重要性程度的权重，为最佳方案的选择提供依据。

计算权重步骤

层次分析法进行权重计算，一般分为以下几个步骤：

第1步，建立递阶层次的结构模型

应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为按属性及关系形成若干层次的元素的组成部分。相邻两个层次之间，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次一般分为以下三类：
1）最高层：层次中只有一个元素。也就是目标指数，是分析问题的预定目标，因此也称为目标层。
2）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，也称为准则层。
3）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称为措施层或方案层。

问题的复杂程度及需要分析的详尽程度决定了递阶层次结构模型中的层次数。一般层次数不受限制，每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

第2步，构造判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重在不同决策者的心目中并不一定相同。

设现在要比较$n$个因子 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } X=\{ x_1,x_2,\cdots,x_n \} X={x1​,x2​,⋯,xn​}对某因素Z的影响大小，我们可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子$x_i$和$x_j$，以$a_{ij}$表示$x_i$和$x_j$对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$表示，称A为Z-X之间的判断矩阵。

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

若$x_i$与$x_j$对Z的影响之比为$a_{ij}$，则$x_j$与$x_i$对Z的影响之比为$a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}$。关于如何确定判断矩阵中元素的值，引用数字1-9及其倒数作为标度。

标度	含义
1	表示两个因素相比，具有相同的重要性
3	表示两个因素相比，前者比后者稍重要
5	表示两个因素相比，前者比后者明显重要
7	表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
9	表示两个因素相比，前者比后者极端重要
2,4,6,8	表示上述相邻判断的中间值

一般地作$\frac{n(n-1)}{2}$次两两判断是必要的。

第3步，层次单排序及一致性检验

判断矩阵 A 对应于最大特征值${\lambda }_{max}$的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

上述构造判断矩阵的办法能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵 A 的元素还应当满足：
$$a_{ij}{a}_{jk}=a_{ik},\forall i,j,k=1,2,\cdots ,n$$
$n$ 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵，当且仅当其最大特征根${\lambda }_{max}=n$,当 A在一致性上存在误差时必有${\lambda }_{max}>n$,并且误差越大，$({\lambda }_{max}-n)$的值越大。

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

1. 计算一致性指标 $CI$
   $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
   其中${\lambda }_{max}$为最大特征根，$n$为对应矩阵的阶数(即，构造矩阵时所选取的影响因子的个数)。
2. 查找相应的平均随机一致性指标 $RI$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.52

3. 计算一致性比例 $CR$
   $$CR=\frac{CI}{RI}$$
   当$CR<0.1$ 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

第4步，层次总排序及一致性检验

由以上几步我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素尤其是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。

设上一层次（A层）包含$y_1,\cdots ,y_m$共m个因素，它们的层次总排序权重分别为$a_1,\cdots ,a_m$。又设其后的下一层次（B层）包含n个因素$x_1,\cdots ,x_n$，它们关于A层某一元素$y_j$的单排序权重分别为$b_{1j},\cdots ,b_{nj}$(当$x_i$与$y_j$无关联时，$b_{ij}=0$)。现求 B 层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重$b_1,\cdots ,b_n$。

对层次总排序也需作一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各判断矩阵都已具有较为满意的一致性，但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。

设 B 层中与与A层某一元素$y_j$相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为$CI(j),j=1,\cdots ,m$，相应的平均随机一致性指标为$RI(j)$，则 B 层次总排序随机一致性比例为

$$CR=\frac{{\sum }_{j=1}^{m}CI(j)a_j}{{\sum }_{j=1}^{m}RI(j)a_j}$$
当$CR<0.1$ 时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

层次分析法中不理解的内容:
在层次单排序中，是计算上层某个元素与其下层的所有元素的排序，还是计算上层某个元素与其包含的下层元素的排序？