线性代数及应用1.6线性方程组的应用

最新推荐文章于 2025-12-05 17:52:04 发布

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#线性代数

37今日速递~

1.5.1和1.5.2我们讲了齐次和非齐次的线性方程组，这一节我们就对之前所讲的内容进行一个应用，将它具体化地实施在生活中，或许这样能帮助你更好地理解线性方程组的逻辑。

这里我们使用化学领域的一个例子来说明：化学方程组的配平。

其实在学习和生活中，我们更希望所有的线性方程组大都只有唯一解，甚至是无解。但是不可避免的有多个解的情况，我们现在就以化学方程式的配平来举例。

假设我们现在有了丙烷气体的燃烧化学式：

$(x_{1})C_{3}H_{8} + (x_{2})O_{2}\rightarrow (x_{3})CO_{2} + (x_4)H_{2}O$

我们为了配平这个式子，就必须要找到 $x_{1},x_{2},..,x_{n}$ 的全部数量，使得式子左边的各原子总数等于右边。

那我们就设有怎么一个向量，这里以 $C,H,O$ 为例，就是

$\begin{bmatrix} C\\ H\\ O \end{bmatrix}$

在第一个 $C_{3}H_{8}$ 中我们抽象出 $\begin{bmatrix} 3\\ 8\\ 0 \end{bmatrix}$ ， $O_{2}$ 我们抽象出 $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{bmatrix}$ ，以此类推。

如果要使得方程式配平，那么两边的等式一定相等：

$x_{1}\begin{bmatrix} 3\\ 8\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{bmatrix} = x_{3}\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}$

如果我们将等式的右边移到左边，就会有：

$x_{1}\begin{bmatrix} 3\\ 8\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ -2 \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} 0\\ -2\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

我们来化简改方程的增广矩阵就会得到通解 $x_{1}=\frac{1}{4}x_{4},x_{2} = \frac{5}{4}x_{4},x_{3} = \frac{3}{4}x_{4}$ ,而 $x_4$ 是自由变量。

由于化学方程式的系数应该是整数，所以取 $x_4= 4$ 就会得到 $x_{1} = 1,x_{2}=5,x_{3}= 3$ ,代入方程就会有：

$C_{3}H_{8} + 5O_{2}\rightarrow 3CO_{2} + 4H_{2}O$

至此完成方程式的配平。