3、线性代数基础：矩阵运算与线性方程组求解

线性代数基础：矩阵运算与线性方程组求解

1. 矩阵基础

1.1 矩阵定义

矩阵在线性代数中占据核心地位，可用于简洁表示线性方程组，还能代表线性函数。对于实数域上的 $(m, n)$ 矩阵 $A$，它是由 $m \times n$ 个元素 $a_{ij}$（其中 $i = 1, \cdots, m$，$j = 1, \cdots, n$）按照 $m$ 行 $n$ 列的矩形排列构成，即：
[
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
\quad a_{ij} \in \mathbb{R}
]
通常，$(1, n)$ 矩阵被称为行矩阵，$(m, 1)$ 矩阵被称为列矩阵，它们也被叫做行向量和列向量。集合 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 表示所有实值的 $(m, n)$ 矩阵，一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ 可以通过将其 $n$ 列堆叠成一个长向量 $a \in \mathbb{R}^{mn}$ 来等价表示。

1.2 矩阵加法和乘法

1.2.1 矩阵加法

两个矩阵 $A