线性代数及应用1.5.1齐次线性方程组

哈喽宝子们~37又来啦

 看到这期的标题，相信大家又回想起了刚开始学习微积分时被6支配的恐惧吧，熟悉的齐次式和非齐次式真的让人头大。

言归正传，我们来回忆下什么叫齐次？

在方程中，齐次指的是等式左边的所有项次数相等，等式右边为0，这是最直观的齐次表现。

即可以表达为，其中是大小的矩阵，0则是中的一个向量~

记住，这里的数字基本是向量的概念，并不是单纯的实数。

所以我们会得到至少一个解。

这里的也不单单指未知数，它也是一个向量，比如

 同样的，这个解我们称之为平凡解。

那有的同学就会问了，如果按照类比的思路，非齐次线性方程是不是就是等式的右边不等于0呢？例如？这个作为讨论我们后面再讲。

对于给定的齐次线性方程，找出他的通解并不困难，所以我们要把目光投向他的非0向量，即探讨这个线性方程是不是具有非通解，找到x不等于0的一个解，于是我们1有了以下事实：

当且仅当齐次方程至少有一个自由变量时，方程具有非凡解。

而对于x，如上所诉，我们会在通解向量中以公因子的形式表达出来，即进行提公因式操作 

例如 ，我们已经通过化简阶梯型等操作得到了如下的式子

这是不是和我们最开始讲的线性方程组类似呀，我们可以拿出，的具体值，但是是一个自由变量。

根据我们上面的向量展开，我们可以得到如下的式子：

在上述式子中，我们把单独提了出来，得到的倍数，而这个解又是的通解。

斯~等我捋捋，这是不是听起来特别复杂，是不是说明了， 中的每一个解都是的倍数呀，我们的平凡解可以由得到，但通解不是哦，这俩根本就不是一回事。

的平凡解是，但通解的式子是,其中c可能会有若干个等于0，并非全部等于0。

我们再据下面的例子来进行说明，关于单一方程也可看作简单的方程组。

 我们可以将用含和的式子表达出来：

和看作自由变量，通解写成

 

进而化简为

放在三维空间中，由于u和v不是各个的倍数，所以这个x的构成就是一个平面，他的集为,即通过原点的该平面。