3、线性代数：矩阵运算与线性方程组求解

线性代数：矩阵运算与线性方程组求解

1. 矩阵基础

矩阵在线性代数中占据核心地位，它不仅能简洁地表示线性方程组，还能代表线性函数。下面我们来详细了解矩阵的定义和基本运算。

1.1 矩阵的定义

对于 (m, n \in N)，一个实值的 ((m, n)) 矩阵 (A) 是由 (m \cdot n) 个元素 (a_{ij})（其中 (i = 1, \ldots, m)，(j = 1, \ldots, n)）按照 (m) 行 (n) 列的矩形方案排列而成的：
[
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
a_{ij} \in R
]
通常，((1, n)) 矩阵被称为行向量，((m, 1)) 矩阵被称为列向量。(R^{m \times n}) 表示所有实值 ((m, n)) 矩阵的集合，(A \in R^{m \times n}) 可以通过将矩阵的所有 (n) 列堆叠成一个长向量，等价地表示为 (a \in R^{mn})。

1.2 矩阵的加法和乘法

1.2.1 矩阵加法

两个矩阵 (A \in R^{m