线性时间筛选n个模M的逆元的方法及证明

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本文介绍了一种基于递推关系高效计算模逆元的方法，适用于整数范围内的快速求解，并提供了具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

结论：

假设取模 $M$

初始化设

i n v [1] = 1

$inv[1] = 1$

则

i n v [i] = (M - M i) \times i n v [M % i] % M

$inv[i] = (M - \frac{M}{i}) \times inv[M\ \%\ i]\ \%\ M$

设

t = M i, k = M % i

$t = \frac{M}{i}\ ,\ k = M \ \%\ i$

根据同余定义我们可以得到

t \times i + k \equiv 0 (m o d M)

$t \times i + k \equiv 0 \ (mod\ M)$

即：

- t \times i \equiv k (m o d M)

$-t \times i \equiv k\ (mod \ M)$

两边同时乘上 $i\times k的逆元$

即

- t \times i \times i - 1 \times k - 1 \equiv k \times k - 1 \times i - 1 (m o d M)

$-t\times i\times i^{-1} \times k^{-1} \equiv k \times k^{-1}\times i^{-1}\ (mod \ M)$

即

- t \times k - 1 \equiv i - 1 (m o d M)

$-t\times k^{-1} \equiv i^{-1}\ (mod \ M)$

即

- t \times i n v [k] \equiv i n v [i] (m o d M)

$-t \times inv[k] \equiv inv[i]\ (mod \ M)$

这时我们得到了递推式，要求 $inv[i]$

其实答案就是

- t \times i n v [k] % M

$-t \times inv[k] \ \%\ M$

我们将一开始的设的 $t,k带入得到$

(- M i) \times i n v [M % i] % M

$(-\frac{M}{i})\times inv[M\ \%\ i] \ \%\ M$

即：

(- M i) % M \times i n v [M % i] % M

$(-\frac{M}{i})\ \%\ M \times inv[M\ \%\ i] \ \% \ M$

为了防止出现负数 $(-\frac{M}{i})\ \%\ M$ 完全可以加上一个 $M$ 即 $(-\frac{M}{i}+M) \ \% \ M$

原式化简为了

推导完毕。

复杂度 $O(n)$

code：

void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = inv[M % i] * (M - M / i) % M;
}