线性时间筛选n个模M的逆元的方法及证明

结论：

假设取模$M$

初始化设

$$inv[1] = 1$$

则

$$inv[i] = (M - \frac{M}{i}) \times inv[M\ \%\ i]\ \%\ M$$

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推导如下：

设

$$t = \frac{M}{i}\ ,\ k = M \ \%\ i$$

根据同余定义我们可以得到

$$t \times i + k \equiv 0 \ (mod\ M)$$

即：

$$-t \times i \equiv k\ (mod \ M)$$

两边同时乘上$i\times k的逆元$

即

$$-t\times i\times i^{-1} \times k^{-1} \equiv k \times k^{-1}\times i^{-1}\ (mod \ M)$$

即

$$-t\times k^{-1} \equiv i^{-1}\ (mod \ M)$$

即

$$-t \times inv[k] \equiv inv[i]\ (mod \ M)$$

这时我们得到了递推式，要求$inv[i]$

其实答案就是

$$-t \times inv[k] \ \%\ M$$

我们将一开始的设的$t,k带入得到$

$$(-\frac{M}{i})\times inv[M\ \%\ i] \ \%\ M$$

即：

$$(-\frac{M}{i})\ \%\ M \times inv[M\ \%\ i] \ \% \ M$$

为了防止出现负数$(-\frac{M}{i})\ \%\ M$完全可以加上一个$M$即$(-\frac{M}{i}+M) \ \% \ M$

原式化简为了

$$inv[i] \ \%\ M = (M-\frac{M}{i})\times inv[M\ \%\ i] \ \% \ M$$

推导完毕。

复杂度$O(n)$

code：

void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = inv[M % i] * (M - M / i) % M;
}