线性时间筛选n个模M的逆元的方法及证明

本文介绍了一种基于递推关系高效计算模逆元的方法,适用于整数范围内的快速求解,并提供了具体实现代码。

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结论:

假设取模MM

初始化设

inv[1]=1

inv[i]=(MMi)×inv[M % i] % Minv[i]=(M−Mi)×inv[M % i] % M

推导如下:

t=Mi , k=M % it=Mi , k=M % i

根据同余定义我们可以得到

t×i+k0 (mod M)t×i+k≡0 (mod M)

即:

t×ik (mod M)−t×i≡k (mod M)

两边同时乘上i×ki×k的逆元

t×i×i1×k1k×k1×i1 (mod M)−t×i×i−1×k−1≡k×k−1×i−1 (mod M)

t×k1i1 (mod M)−t×k−1≡i−1 (mod M)

t×inv[k]inv[i] (mod M)−t×inv[k]≡inv[i] (mod M)

这时我们得到了递推式,要求inv[i]inv[i]

其实答案就是

t×inv[k] % M−t×inv[k] % M

我们将一开始的设的t,kt,k带入得到

(Mi)×inv[M % i] % M(−Mi)×inv[M % i] % M

即:

(Mi) % M×inv[M % i] % M(−Mi) % M×inv[M % i] % M

为了防止出现负数(Mi) % M(−Mi) % M完全可以加上一个MM(Mi+M) % M

原式化简为了

inv[i] % M=(MMi)×inv[M % i] % Minv[i] % M=(M−Mi)×inv[M % i] % M

推导完毕。

复杂度O(n)O(n)

code:

void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = inv[M % i] * (M - M / i) % M;
}
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