有重复组合公式及其证明方法

有重复组合公式如下：

若在n种元素中有重复的选择r个元素的公式：

$C_{n+r-1}^r$

这个公式的证明有很多种方法，这里只选取最容易理解的方式进行证明：

证明如下：

把n种元素当成n个顺序摆放的盒子，r是r个完全相同的球，这样从n种元素中有重复取r个元素的方法就转化成，把r个同质球放入n个盒子的方法

为什么可以这样呢，想想，把一个球放到第i个盒子就相当于从n种元素中我们取的第i种元素，如果有多个球放在第i个盒子中，相当于从n个元素中重复了取了第i种元素

空间中n+1条‘|’把空间分成n个盒子

举个例子n=6，也就是6个盒子
$$|||||||$$

那么我们往里面放球用’*'表示
则有
$|\ast |\ast \ast \ast \ast ||\ast \ast \ast ||\ast |$
我们发现
除去两边边界的 $|$
实际的摆放方法就是n-1个 $|$ 和 r 个$\ast$ 的不同摆放方式

所以共有$n+r-1$个位置
我们从中选择r个位置即可

因此得到公式

$C_{n+r-1}^r$