Square Coins

最新推荐文章于 2024-08-25 08:45:00 发布

codertcm

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分类专栏：母函数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/codertcm/article/details/81210189

母函数专栏收录该内容

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本文介绍了一种利用母函数的方法来解决硬币组合计数问题。通过构造特定的母函数，能够有效地计算出使用特定面值硬币组合支付给定金额的不同方式的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

People in Silverland use square coins. Not only they have square shapes but also their values are square numbers. Coins with values of all square numbers up to 289 (=17^2), i.e., 1-credit coins, 4-credit coins, 9-credit coins, ..., and 289-credit coins, are available in Silverland.
There are four combinations of coins to pay ten credits:

ten 1-credit coins,
one 4-credit coin and six 1-credit coins,
two 4-credit coins and two 1-credit coins, and
one 9-credit coin and one 1-credit coin.

Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.

Input

The input consists of lines each containing an integer meaning an amount to be paid, followed by a line containing a zero. You may assume that all the amounts are positive and less than 300.

Output

For each of the given amount, one line containing a single integer representing the number of combinations of coins should be output. No other characters should appear in the output.

Sample Input

Sample Output

1
4
27

题意：给你无限个面值为1,4,9,16.....289的硬币

给你一个n ，问你用这些的硬币能用多少种方案凑出n

使用母函数求解

母函数，又称生成函数，是用于解决组合问题计数的一种方法。

引例：

在了解它之前我们先看看熟悉的杨辉三角。
这里写图片描述

杨辉三角的第n行(注意是从0开始标号的)的数字就是(1+x)n

的展开式从低项到高项的各项系数，也可以表示为组合数的形式Cin。如果将两者联系起来我们会发现，(1+x)可以看成对于一件取舍，1=x0就是不取，x就是取。这样在(1+x)n的展开式中xi项的系数就是从n件物品选取i件的方案数。

定义

给定数列a0,a1,a2…an

，构造函数G(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+a2f2(x)…anfn(x),其中G(x)就是该序列的母函数，f0(x),f1(x),f2(x)…fn(x)

为标志函数。
母函数主要有两种形式：普通型母函数和指数型母函数。

普通型母函数

先看一个例题：HDU 1085
普通型母函数的标志函数一般为x0，x1,x2…xn

因为每个硬币有个数限制，但是也不难构造出

G(x)=(1+x+x2+x3+…+xnum1)(1+x2+x4+…+x2∗num2)(1+x5+x10+…+x5∗num5)

。将多项式展开后，xi项对应的系数就是组成面值为i的方案数。

指数型母函数

再看一个例题：HDU 1521
指数型母函数的标志函数一般为x0/0!,x1/1!,x2/2!...xn/n!

，对于xii!表示在一个方案中某个元素出现了i次，而不同位置的该种元素本质不同，所以在记方案数时只算作一种，所以最后结果应处以i！

。
对于这道题就不难构造出母函数为

G(x)=(10!+X/1!+X2/2!+...+Xa1/a1!)(10!+X1!+X2/2!+...+Xa2/a2!)(10!+X1!+X2/2!+...+Xan/an!)

这里先给出两句话

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”

2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的

运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N = 300 + 1;

int main()
{
    int i,j,k;
    int a[N],b[N];
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        a[i]=1;  // 模拟第一个括号，各项系数为1(有可能不全为1)
        b[i]=0;  // 辅助数组
    }
    for(i=2;i*i<N;i++)    // i 表示 第几个括号  i++ 使被乘的括号后移一个   
    {
        for(j=0;j<N;j++)  // j 表示引用第一个括号中的第j个
        {
            for(k=0;k+j<N;k+=i*i)  // k 表示第二个括号中每一项的x的次数
            {
                b[k+j]+=a[j];      // k+j 表示第一个括号的第j个项 与 第二个括号中的每一项的  乘积的次数 b数组记录次数为k+j的系数 a数组为第一个括号第j个的系数 超过 N 的没统计 
            }
        }
        for(j=1;j<N;j++)
        {
            a[j]=b[j];            // 更新第一个括号的各项的系数
            b[j]=0;               // 先更新被乘的括号的各项的系数（应该是1，但为了之后进行加法运算，例如：x×x之后x的平方的系数为1） 循环后 i++ 使被乘的括号后移一个  
        }
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
        printf("%d\n",a[n]);
    return 0;
}

感谢一下三位大佬：

（定义）https://blog.youkuaiyun.com/chn_jz/article/details/73065465

（理解）https://blog.youkuaiyun.com/vsooda/article/details/7975485

（应用）https://blog.youkuaiyun.com/xiaofei_it/article/details/17042651