AtCoder - arc101_b Median of Medians 分析与解答

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#算法 #c++ #数据结构

Median of Medians - AtCoder arc101_b - Virtual Judge

寻找中位数们的中位数，使用二分搜索，在数列a的最小值和最大值之间搜索，

在一列数m1,m2,m3......m_n中，如果x是他们的中位数，应该满足大于等于x的数的数目大于等于

n-[n/2]，并且x是满足该条件的最大数

比如1,2,3,4中，x=3是满足两个数（4-[4/2]）大于等于x的最大x值

比如 1,2,3,4,5中，x=3是满足三个数(5-[5/2]）大于等于x的最大x值

所以可以统计，在所有的中位数中，满足大于等于x的数的个数

如果统计给定一个区间[l,r]，快速判断这个区间的中位数是否大于等于x呢：

通过观察，将这个区间的数不降序排列后，如果区间内大于等于x的数的数目（区间中数的个数为n）大于等于(n-[n/2])，则该区间的中位数大于等于x

比如1 2 3 4，x=3，大于等于3的个数是2=4-[4/2]

比如1 2 3 4 5,x=3，大于等于3的个数是3=5-[5/2]

将一个区间中的数分成两类，大于等于x的数令其为1，否则令其为-1，则当这个区间的数的和大于等于0的时候，这个区间的中位数大于等于x

例如1 2 3 4，变为 -1 -1 1 1，和为0

这样处理后，求一个区间的和可以通过前缀和快速计算，给定区间端点l和r，如果pref[r]-pref[l-1]>=0，则这个区间的中位数大于等于x

通过移项得到 pref[r]>=pref[l-1]，（r>=l>l-1），也就是

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题意 给出一个序列，求这个序列所有子序列中位数的中位数 思路 直接考虑非常fake 换个角度，某个数要成为中位数的中位数，那么中位数大于等于他的序列必须占总序列数的至少1/2，而最终答案是符合这个条件的最大的数。于是二分答案。 如何写check函数呢？因为选出mid之后，序列中所有数的具体数值已经不重要了，所以可以把所有大于等于mid的数看作1，小于的看作-1，则某个序列的中位数如果大于等于mid...
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我们可以发现 | x - a | 可以抽象成位置 x 与位置 a 之间的距离，而 b 并不会受到 x 变化的影响。所以我们只需要距离已存在的位置 a 中距离其他点距离之和最小就可以了，很明显的可以看出 这个 a 是所有点中距离中位数最近的点。但是操作1会改变序列 a 的中位数，所以我们需要对顶堆来实现动态中位数的求解。操作1：输入 1 a b ,将 f(x) 替换为 f(x) + | x - a | + b;操作2：输入 2，找出最小的 x 使得 f(x) 的值最小;
AtCoder Regular Contest 100 A.Linear Approximation(思维题 中位数变形/三分)
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题目 给一个数n<=2e5，一个序列a[]， 你可以给出一个整数b，使得最小 输出sum 思路来源 https://www.cnblogs.com/Rye-Catcher/p/9255304.html https://blog.youkuaiyun.com/haipai1998/article/details/80891065 题解 首先对读入的ai，处理成ai-i， 然后考虑枚举的b...
AtCoder abc107 D.Median of Medians【前缀和】【树状数组求顺序对】【二分】【思维】
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05-23 461
题目链接https://atcoder.jp/contests/arc101/tasks/arc101_b?lang=en •大概题意： 给定一个整数序列，对其所有子区间分别取中位数，由这些中位数构成新的序列，求这个序列的中位数。 •题意分析： 要特别注意的是，原序列是不用排序的，而每个子区间和最终序列都要排序。 这意味着是直接从原序列取子区间，而根据中位数的定义，求中位数之前是要排序的，所以整个过程应该是: •直接对原序列取子区间； •对于每个子区间执行以下操作： ..
AtCoder Beginner Contest 236 E - Average and Median 「二分答案 + dp」
Suryxin's blogs
03-16 1073
E - Average and Median 题目描述： 给定一个长度为n的序列，从中按要求挑选若干个数 对于所有的i，都必须从a[i]，a[i+1]中至少选一个 问取出的数产生的平均数最大是多少？中位数最大是多少？ 思路： 考虑二分答案，假设二分的答案为mid 对于平均值，我们可以构造一个数组b[i]=a[i]-mid，如果选择出来的数的 ∑b[i]>=0\sum{b[i]}>=0∑b[i]>=0，就说明平均值大于等于k，所以我们只需要求出满足条件的最大的 ∑b[i]\sum{
【Atcoder - ARC101D/ABC107D】Median of Medians
Tiw的博客小家~
08-26 1679
@Median of Medians@ @Median of Medians@ @题目描述 - English@ @题目大意@ @分析@ @代码实现@ @END@ @题目描述 - English@ Time limit : 2sec / Memory limit : 1024MB Score : 700 points Problem Statement We w...
题解：AT_arc101_b [ABC107D] Median of Medians
Clare0613的博客
09-27 2184
我敢打赌，这肯定是洛谷这道题里最详细的题解了。
Select-Median.rar_median select_medianselect_select median
09-24
“Median of Medians”算法是一个更为稳定的选择方法，它确保了每次都能选出一个接近中位数的枢轴，从而避免了最坏情况的发生。该算法首先将数组分为若干组，每组5个元素（如果数组长度不能被5整除，则最后一组可能...
QuickSelection以及其median of medians版本
Freopen的博客
08-16 1380
QuickSelection\texttt{QuickSelection}QuickSelection是NOIP算法，用于求第k大的元素，原理就是快排的快速划分。 每次随机选一个值，把比这个值小的放在左边，比这个值大的放在右边， 如果我们要求的元素比左边的大，那么就递归右边，反之为左边或答案就是当前点。 这个过程如果随机就是期望O(n)O(n)O(n)的，实际运行很快。 而 Median&nbsp...
median-filter.rar_filter lena_lena_noisy median filter
07-14
this is program for image enhancement using median filter, i use lena noisy image in format .png
AtCoder Regular Contest 095 C - Many Medians(去掉一个数求中位数)
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04-15 1333
Problem StatementWhen l is an odd number, the median of l numbers a1,a2,…,al is the (l+12)-th largest value among a1,a2,…,al.You are given N numbers X1,X2,…,XN, where N is an even number. For each i=1...
【Atcoder agc020 C】Median Sum，序列子集和中位数，bitset，01背包
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02-02 1109
problem C - Median Sum / Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 512 MB Score : 700 points Problem Statement You are given N integers A 1 , A 2 , …, A N . Consider the sums of all non-empty subsequences of A . There are 2 N − 1 such sums, an odd number. Let the
atcoder Median Sum题解
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原题链接：https://atcoder.jp/contests/agc020/tasks/agc020_c 上来先给AC代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e6+5; bitset<N>V; int main() { int n,s=0; scanf("%d",&n); V[0]=1; for(int i=0,x; i<n; i++)scanf("%d
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12-24 853
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# 获取唯一分组水平 group_levels <- unique(df$group) n_groups <- length(group_levels) # 仅当分组数≥2时计算中位数差异 if (n_groups >= 2) { # 创建空列表存储结果 diff_list <- vector("list", n_groups) names(diff_list) <- paste0("median_diff_", group_levels) ## 对每个细胞类型计算中位数差异 for (i in seq_along(immune_cols)) { cell <- immune_cols[i] medians <- tapply(df[[cell]], df$group, median, na.rm = TRUE) # 计算所有组相对于参考组的差异 ref_median <- medians[group_levels[2]] for (j in seq_len(n_groups)) { diff_list[[j]][i] <- medians[group_levels[j]] - ref_median } } # 将结果添加到数据框 res_df <- cbind(res_df, as.data.frame(diff_list)) }。我有三个组，分别是DM，CN和dpn，其中第二组是对照组。计算所有组相对于参考组的差异 ref_median <- medians[group_levels[1]]，这个group_levels[1]是否需要改成group_levels[2]
09-01
<think> 我们有一个包含三组的数据框，分组为：DM, CN, dpn。其中，用户指定第二组（CN）为对照组（即参考组）。 在之前的代码中，我们使用`group_levels <- unique(df$group)`获取分组水平，然后计算每个组相对于第一组的差异（因为原代码使用`medians[group_levels[1]]`作为参考）。 现在，用户希望将参考组改为第二组（CN），所以我们需要将参考组设置为`group_levels[2]`。 修改步骤： 1. 获取唯一分组水平，注意：`unique`函数的返回顺序通常与数据中出现顺序相同，但为了确保顺序正确，我们可以将其转换为因子并指定水平（如果用户有特定顺序要求的话）。不过，用户已经说明第二组是CN，所以我们可以直接按`unique`返回的顺序处理，但我们需要知道第二组对应的是哪个名称。 2. 在计算参考组中位数时，我们原本使用第一组（`group_levels[1]`），现在改为使用第二组（`group_levels[2]`）。 注意：`group_levels`是一个字符向量，顺序是`unique`返回的顺序。例如，如果数据中分组出现的顺序是DM, CN, dpn，那么`group_levels`可能是c("DM","CN","dpn")，这样第一组是"DM"，第二组是"CN"，第三组是"dpn"。但实际顺序取决于数据。 如果用户的分组顺序不确定，我们可以通过指定参考组的名称来确保正确。例如，用户指定参考组为"CN"，那么我们可以： ref_group <- "CN" ref_median <- medians[ref_group] 这样更安全，因为`unique`返回的顺序可能不可预测（例如，如果是字母顺序，则可能为c("CN","DM","dpn")，这样第二组就不是"CN"了）。 因此，有两种方法： 方法一：假设`group_levels`的顺序是用户数据出现的顺序，且用户知道第二组就是CN（即数据中分组出现的顺序是：第一组为DM，第二组为CN，第三组为dpn）。 方法二：直接按组名指定参考组。 推荐方法二，因为更稳健。 修改后的代码（指定参考组为"CN"）如下： 步骤如下： 1. 定义参考组的名称（用户指定为"CN"）。 2. 获取每个细胞类型在各组的中位数。 3. 计算每个组与参考组（CN）的中位数差异。 注意：我们需要为每个组都计算相对于参考组的差异，包括参考组自身（其差异为0）。但通常我们可能只需要非参考组相对于参考组的差异？不过原代码是计算所有组的差异（包括参考组）。这里按照原代码逻辑，计算所有组（即DM, CN, dpn）相对于参考组（CN）的差异，那么CN组相对于自身的差异就是0。 代码修改如下： ```r # 假设分组列名为'group'，且有一个名为'immune_cols'的向量包含要分析的细胞类型列名 # 获取分组水平（顺序不重要，因为我们将按名称获取参考组） group_levels <- unique(df$group) n_groups <- length(group_levels) # 定义参考组名称 ref_group <- "CN" # 用户指定CN为对照组 # 仅当分组数>=2时计算中位数差异 if (n_groups >= 2) { # 创建空列表存储结果，每个分组对应一个差异向量 diff_list <- vector("list", n_groups) # 设置列表名称，例如：median_diff_DM, median_diff_CN, median_diff_dpn names(diff_list) <- paste0("median_diff_", group_levels) # 对每个细胞类型循环 for (i in seq_along(immune_cols)) { cell <- immune_cols[i] # 计算每个组的中位数（忽略NA） medians <- tapply(df[[cell]], df$group, median, na.rm = TRUE) # 获取参考组的中位数 ref_median <- medians[ref_group] # 计算每个组相对于参考组的中位数差异 for (j in seq_along(group_levels)) { current_group <- group_levels[j] diff_list[[j]][i] <- medians[current_group] - ref_median } } # 将diff_list转换为数据框并与res_df合并 # 注意：diff_list是一个列表，每个元素是一个向量（对应一个分组的差异） # 我们将其转换为数据框，每一列是一个分组 diff_df <- as.data.frame(diff_list) # 将结果添加到res_df res_df <- cbind(res_df, diff_df) } ``` 说明： 1. 我们通过组名（ref_group <- "CN"）来指定参考组，这样即使`group_levels`中"CN"不是第二组，也能正确获取。 2. 循环中，对每组计算其与参考组的中位数差异。 3. 结果列名将类似于：median_diff_DM, median_diff_CN, median_diff_dpn。其中，median_diff_CN这一列将全为0（因为每个细胞类型都是CN组自身减自身）。 如果用户不需要参考组自身的差异（即不需要全0的那一列），可以在合并前去掉： ```r # 去掉参考组自身的列（参考组的差异列） # 例如，我们不需要median_diff_CN（因为它总是0） # 注意：列名是"median_diff_CN" # 我们可以选择保留除了参考组差异列之外的其他列 # 但这里我们创建列名时使用了group_levels，所以参考组对应的列名就是"median_diff_CN" # 去掉这一列： diff_df <- diff_df[, !names(diff_df) %in% paste0("median_diff_", ref_group), drop=FALSE] ``` 但是，原代码是计算所有组（包括参考组）的差异，所以这里我们保留所有列。 如果用户希望只计算非参考组相对于参考组的差异，那么可以只计算非参考组。修改循环部分： ```r # 只计算非参考组相对于参考组的差异 # 首先确定非参考组 non_ref_groups <- setdiff(group_levels, ref_group) # 然后创建结果列表时，只针对非参考组 diff_list <- vector("list", length(non_ref_groups)) names(diff_list) <- paste0("median_diff_", non_ref_groups) for (i in seq_along(immune_cols)) { cell <- immune_cols[i] medians <- tapply(df[[cell]], df$group, median, na.rm=TRUE) ref_median <- medians[ref_group] for (j in seq_along(non_ref_groups)) { group_j <- non_ref_groups[j] diff_list[[j]][i] <- medians[group_j] - ref_median } } # 然后合并 ``` 用户可以根据需要选择。 回到用户的问题：是否将`ref_median <- medians[group_levels[1]]`改为`ref_median <- medians[group_levels[2]]`？ - 如果用户能够确保`group_levels`中第二组就是"CN"（即`group_levels[2]`等于"CN"），那么这样改是可以的。 - 但是，如果`group_levels`的顺序不是用户预期的（比如因为数据顺序或unique函数返回的顺序不确定），那么这种方法可能出错。因此，推荐使用组名来指定参考组。 所以，为了稳健性，我们使用组名指定参考组（如上代码所示），而不是依赖位置。 因此，直接修改原代码中参考组的位置（改为[2]）仅当`group_levels`的第二位是"CN"时才正确。如果不确定，则使用组名指定。 另外，注意原代码中`group_levels`的顺序：在R中，`unique`函数返回的顺序是数据中首次出现的顺序。如果用户数据中分组出现的顺序是DM、CN、dpn，那么`group_levels`就是c("DM","CN","dpn")，此时`group_levels[2]`就是"CN"。如果数据中分组出现的顺序是CN、DM、dpn，那么`group_levels[1]`就是"CN"，这时如果使用`group_levels[2]`就错了。 因此，结论：不要依赖位置，而应该使用组名。 我们按照组名指定的方法修改代码。 以下是完整的修正代码（包括只计算非参考组的情况）： ```r group_levels <- unique(df$group) n_groups <- length(group_levels) # 用户指定的参考组名称 ref_group <- "CN" # 确保参考组在数据中存在 if (!ref_group %in% group_levels) { stop("参考组不在数据分组中") } if (n_groups >= 2) { # 我们这里选择只计算非参考组相对于参考组的差异 non_ref_groups <- setdiff(group_levels, ref_group) # 为每个非参考组创建一个向量，用于存储差异 diff_list <- vector("list", length(non_ref_groups)) names(diff_list) <- paste0("median_diff_", non_ref_groups, "_vs_", ref_group) for (i in seq_along(immune_cols)) { cell <- immune_cols[i] medians <- tapply(df[[cell]], df$group, median, na.rm=TRUE) ref_median <- medians[ref_group] for (j in seq_along(non_ref_groups)) { group_j <- non_ref_groups[j] diff_list[[j]][i] <- medians[group_j] - ref_median } } # 将列表转换为数据框 diff_df <- as.data.frame(diff_list) # 添加到结果数据框 res_df <- cbind(res_df, diff_df) } ``` 这样，结果数据框`res_df`将增加两列（非参考组相对于参考组的差异）： - median_diff_DM_vs_CN - median_diff_dpn_vs_CN 注意：列名中包含了参考组，这样更清晰。 因此，用户原来的问题：是否需要将`ref_median <- medians[group_levels[1]]`改成`ref_median <- medians[group_levels[2]]`？ 答：如果用户确定`group_levels[2]`就是参考组"CN"，那么这样改可以。但为了避免潜在的顺序问题，建议使用组名直接指定参考组。 最终，我们采用直接指定组名的方法，代码如上。 相关问题： 1. 如何确保分组水平的顺序与预期一致？ 2. 如果参考组在数据中不存在，代码应如何处理？ 3. 除了中位数差异，如何计算其他统计量（如均值）的组间差异？ 4. 如何将组间差异与统计检验的p值一起呈现？ </think> 针对您的问题：在三个组（DM, CN, dpn）且 **CN 作为对照组** 的情况下，计算所有组相对于参考组的差异时，代码 `ref_median <- medians[group_levels[1]]` **需要修改为 `ref_median <- medians[group_levels[2]]`**。以下是详细解释和修改后的完整代码： ### 关键修改原理 1. **分组顺序问题**： - `group_levels <- unique(df$group)` 返回的分组顺序取决于数据中出现顺序（如可能为 `c("DM", "CN", "dpn")`) - 此时 `group_levels[1] = "DM"`, `group_levels[2] = "CN"`, `group_levels[3] = "dpn"` - 当 CN 作为对照组时，参考组应是 **第二个元素** `group_levels[2]` 2. **差异计算逻辑**： - 期望计算：$ \Delta_{\text{DM}} = \text{median}_{\text{DM}} - \text{median}_{\text{CN}} $ $ \Delta_{\text{dpn}} = \text{median}_{\text{dpn}} - \text{median}_{\text{CN}} $ - 参考组必须是 CN（即 `group_levels[2]`） ### 修改后的完整代码 ```r group_levels <- unique(df$group) # 分组顺序：c("DM", "CN", "dpn") n_groups <- length(group_levels) if (n_groups >= 2) { # 创建存储结果的列（每个分组一列） for (group in group_levels) { col_name <- paste0("median_diff_", group, "_vs_CN") res_df[[col_name]] <- NA } for (i in seq_along(immune_cols)) { cell <- immune_cols[i] medians <- tapply(df[[cell]], df$group, median, na.rm = TRUE) # 关键修改：使用group_levels[2]作为参考组（CN） ref_median <- medians[group_levels[2]] # CN组的中位数 # 计算所有组相对于CN的差异 for (j in 1:n_groups) { group_name <- group_levels[j] col_name <- paste0("median_diff_", group_name, "_vs_CN") res_df[[col_name]][i] <- medians[[group_name]] - ref_median } } } ``` ### 结果解读示例 | cell_type | median_diff_DM_vs_CN | median_diff_CN_vs_CN | median_diff_dpn_vs_CN | |-----------------|----------------------|----------------------|-----------------------| | T_cells_CD8 | 1.2 | 0.0 (参考组) | 0.8 | | Macrophages | -0.5 | 0.0 (参考组) | 0.3 | 说明： 1. `median_diff_CN_vs_CN` 始终为 0（自身比较） 2. 正数表示高于 CN 组中位数，负数表示低于 CN 组中位数 ### 增强健壮性建议 若分组顺序不确定，可**显式指定参考组**： ```r ref_group <- "CN" # 明确指定对照组名称 ref_median <- medians[[ref_group]] # 直接按名称获取中位数 # 计算差异时： res_df[[paste0("median_diff_", group_name, "_vs_CN")]][i] <- medians[[group_name]] - ref_median ``` ### 生物学分析注意事项 1. **统计检验**：中位数差异需配合非参数检验 ```r # Kruskal-Wallis检验三组差异 kruskal.test(df[[cell]] ~ df$group) # Dunn's test两两比较（安装dunn.test包） dunn.test::dunn.test(df[[cell]], df$group, method="bh") ``` 2. **结果筛选**： ```r # 过滤掉参考组自身比较列 res_df <- res_df[, !grepl("_vs_CN_vs_CN", names(res_df))] ``` ### 相关问题 1. 当分组顺序与预期不符时，如何确保参考组选择正确？ 2. 除了中位数差异，在免疫细胞分析中是否应该计算其他效应量（如Hodges-Lehmann估计量）？ 3. 如何将组间差异分析与生存数据关联（如Cox回归）？ 4. 样本量不均衡时，中位数比较是否比均值比较更稳健？ > 此修改确保在 CN 作为对照组时正确计算差异[^1]，并通过列名清晰标注比较组别，避免结果误解。 [^1]: 通过显式指定参考组名称和动态列名生成，提高了代码可读性和可重用性。
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