AtCoder Regular Contest 100 A.Linear Approximation(思维题 中位数变形/三分)

题目

给一个数n<=2e5，一个序列a[]，

你可以给出一个整数b，使得最小

输出sum

思路来源

https://www.cnblogs.com/Rye-Catcher/p/9255304.html

https://blog.youkuaiyun.com/haipai1998/article/details/80891065

题解

首先对读入的ai，处理成ai-i，

然后考虑枚举的b，

如果有k个值比b小，则有(n-k)个值比b大

b每增1，k个值由于为负，总绝对值+k，n-k个值为正，总绝对值-(n-k)

譬如n=10，k=1时，有一个值会增加，有九个值会减少，

b可以再增加以使值更小，就直接令k为新的a序列的中位数即可

考虑到b小于中位数时答案一直在减小，而大于中位数后一直在增大

虽然中间可能因为有两个中位数导致一段区间是水平的，

但仍然保持先降中平后增的趋势，因此可以三分最小值

代码1（中位数）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
int n,a[maxn],b;
ll ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]-=i;
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	b=a[(n+1)/2];
	for(int i=1;i<=n;++i)
	ans+=abs(a[i]-b);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

代码2（三分）

三分最小值时，哪端大，

说明哪端以外的值都不是最小值，

把该断对应的端界缩进来即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
int n,a[maxn],b;
int l,r;
ll sum(ll mid)
{
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	res+=abs(a[i]-mid);
	return res;
}
ll ans;
int main()
{
	l=1e9;r=-1e9;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]-=i;
		l=min(l,a[i]);
		r=max(r,a[i]);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	while(r-l>1)
	{
		ll m=(l+r)>>1,mm=(m+r)>>1;
		if(sum(m)>sum(mm))l=m;
		else r=mm;
		//等于的话说明[m,mm]内答案均可
		//但此时为了三分方便,还是把区间缩到一 
	}
	ans=min(sum(l),sum(r));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}