[洛古]P1044 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,\ldots ,n1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 nn。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn，计算并输出由操作数序列 1,2,\ldots,n1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 nn（1 \leq n \leq 181≤n≤18）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

输入输出样例

输入 #1复制

3

输出 #1复制

5

[思路]

考虑"1"出栈的位置. "1" 可以在 1 ~ N 之间任意位置出栈. 我们设"1" 出栈的位置为k. 如果"1"在第k位出栈, "1"之前会有k-1个元素出栈.这样设k-1个元素出栈的方案数为f(k-1), 在 "1" 之后会有 N - k 个元素出栈.  我们设 N - k 个元素的出栈数量为 f(N-k). 所以, "1" 在第k位的出栈总方案数是 f(k-1) * f(N-k). 又因为"1"可以再任意位置出栈. .所以,总方案数为 . (1 <= k <= N).

[代码]

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
int f[N];
int main() {
    cin >> n;
    f[0]  = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            f[i] += f[j-1] * f[i-j];
        }
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}