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动态检查新鲜寄存器自动机双模拟性
一、引言
寄存器自动机是处理无限字母表的最简单自动机类型之一，每个自动机配备有限数量的寄存器，用于存储数据值并与输入中的其他数据值进行比较。新鲜寄存器自动机（Fresh-Register Automata，FRAs）是其扩展，仅在输入数据值在计算历史中是全新的情况下才接受该值。
自动机处理无限字母表可用于多种场景，如建模移动进程、变量计算、验证 XML 查询语言等。与有限状态自动机相比，新鲜寄存器自动机决策算法的复杂度通常更高。例如，寄存器自动机的普遍性问题是不可判定的，等价性问题也如此；在特定寄存器规则下，可达性问题是 NP 完全的（在确定性情况下是 P 完全的）。不过，新鲜寄存器自动机的双模拟性问题是可判定的，其复杂度在 P 到 EXPTIME 之间，具体取决于寄存器规则。
本文聚焦于新鲜寄存器自动机的双模拟性问题，结合动态方法和计算群论的表示与例程，提出一种算法及高效实现。我们选择一种寄存器规则，避免了一些复杂情况，同时不损失表达能力。虽然算法在最坏情况下是指数时间复杂度，但通过大量基准测试表明，它比现有算法和工具更高效。此外，我们还实现了从 π - 演算进程到新鲜寄存器自动机的转换，并以此为基础开发了一个用于有限 π - 演算进程的（强早期）双模拟性检查原型工具。
相关工作方面，有几种与寄存器自动机类似或等价的自动机模型，如历史依赖自动机（HDAs）、变量自动机和名义自动机。HDAs 用于建模 π - 演算进程，可通过名称对称性进行双模拟性最小化；寄存器自动机领域也有不同的双模拟性算法和实现。
二、背景知识
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标记迁移系统（Labelled-Transition System，LTS）
- 定义：一个 LTS 是一个三元组 ⟨Q, A, →⟩，其中 Q 是状态集，A 是动作集，→⊆Q × A × Q 是迁移关系。
- 模拟和双模拟：模拟是一个二元关系 R ⊆Q×Q，满足对于任意 (q1, q2) ∈R 和任意 a ∈A，若 q1 a→q′1，则存在 q2 a→q′2 使得 (q′1, q′2) ∈R。若 R 和 R⁻¹ 都是模拟，则 R 是双模拟。若存在双模拟 R 使得 (q, p) ∈R，则称状态 q 和 p 是双相似的，记为 q ∼p。
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新鲜寄存器自动机（FRAs）
- 输入字母表：假设输入字母表为 Σ × A，其中 Σ 是有限的标签集，A 是无限的名称或数据值集。
- r - 新鲜寄存器自动机（r - FRA）定义：一个 r - FRA 是一个五元组 A = ⟨Q, q0, μ, δ, F⟩，其中 r 是寄存器数量，Q 是有限状态集，q0 是初始状态，F 是最终状态集，μ : Q →P([1, r]) 是可用性函数，指示每个状态下哪些寄存器被填充，δ ⊆Q × Σ × {i, i•, i⊛| i ∈[1, r]} × Q 是迁移关系。
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迁移类型：
- q t,i−→q′：已知迁移，接受包含已存储在寄存器 i 中的名称的输入。
- q t,i•−−→q′：局部新鲜迁移，仅接受包含当前未存储在任何寄存器中的名称的输入，并将该名称写入寄存器 i。
- q t,i⊛−−→q′：全局新鲜迁移，仅接受包含从未出现过的名称的输入，并将该名称写入寄存器 i。
- 配置和 LTS：r - FRA 的配置集 CA = {(q, ρ, H) | q ∈Q, ρ : μ(q) →A 是单射，rng(ρ) ⊆H ⊆fin A}。LTS ⟨CA, Σ × A, →A⟩ 中，(q, ρ, H) t,d−−→A (q′, ρ′, H′) 满足一定条件。
- 正常新鲜寄存器自动机：假设标签集 Σ 被划分为 Σ = Σ1 ⊎Σ2，若 (q, t, i•, q′) ∈δ 则 t ∈Σ1，(q, t, i⊛, q′) ∈δ 则 t ∈Σ2，则称 r - FRA 是正常的。
- 问题定义：问题 ∼FRA 是指，给定一个 r - FRA A 和 κ1, κ2 ∈CA 且具有共同历史组件，判断 κ1 ∼κ2 是否成立。该问题是 NP 问题。
三、符号推理
处理无限字母表时，明确表示迁移会导致 LTS 大小无限。为解决此问题，我们使用符号推理将无限状态空间缩减为有限抽象表示。具体做法是，用配置对中名称之间关系的表示替换实际名称，将配置对 ((q1, ρ1, H), (q2, ρ2, H)) 表示为符号三元组 (q1, σ, q2)，其中 σ 是寄存器索引之间的部分置换。
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部分置换和符号三元组
- 部分置换：[1, r] 上的部分置换是 [1, r] 的两个子集之间的双射，记为 ISr，它是一个逆半群，其合成记为 σ1; σ2。
- 符号三元组：给定 r - FRA A = ⟨Q, q0, μ, δ, F⟩，其符号三元组集 UA = {(q1, σ, q2) ∈Q × ISr × Q | dom(σ) ⊆μ(q1), rng(σ) ⊆μ(q2)}。配置 κ1, κ2 的符号表示为 symb(κ1, κ2) = (q1, ρ1; ρ⁻¹2, q2)。
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符号双模拟
- 符号模拟：符号模拟是一个关系 R ⊆UA，满足一定的正常符号模拟条件（NSyS）。
- 符号双模拟：若 R 和 R⁻¹ 都是符号模拟，则 R 是符号双模拟。若 symb(κ1, κ2) ∈s∼，则称具有共同历史的配置 κ1, κ2 是符号双相似的，记为 κ1 s∼κ2。且对于任何具有共同历史的 κ1, κ2，κ1 ∼κ2 当且仅当 κ1 s∼κ2。
四、动态双模拟性算法
典型的双模拟性检查算法（如分区细化算法）基于共归纳方法，从所有配置对集合开始，逐步剔除非双相似对来构建最大双模拟。但对于 FRAs，由于配置集是无限的，这种方法不适用。使用符号三元组虽可将状态空间有限化，但状态空间呈指数级增长，计算后再进行限制效率低下，且分区细化技术与符号三元组表示不兼容。
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基本动态算法
- 算法思路：从要测试双模拟性的配置对（在 FRAs 中是符号三元组）开始，动态构建包含该配置对的双模拟关系。可以将该算法看作生成一个 LTS，其状态是符号三元组，代表候选双模拟关系。LTS 中的每个迁移表示一对配置到另一对配置的共同迁移，即一个配置发起迁移（挑战），另一个配置进行匹配。由于 FRA 可能是非确定性的，可能有多个迁移可以匹配某个挑战，算法会尝试所有迁移，直到构建出双模拟关系或判定所检查的配置不是双相似的。
- 状态记录：算法使用状态记录已访问的三元组，并将其包含在候选符号双模拟关系中。若一个三元组被 LTS 访问两次，第二次访问时无需再次分析。这产生了已访问三元组之间的依赖关系，已访问的三元组可能用于证明后续三元组的双相似性，此时该三元组被记录为假设三元组。已访问三元组和假设三元组可能是也可能不是双模拟关系的一部分。若算法发现某个三元组不是双模拟关系的一部分，则将其从已访问三元组集合移动到坏三元组集合，坏三元组代表非双相似的配置。为了从错误访问的三元组中完全恢复，算法还需检查该三元组是否被用作其他三元组的假设，若是，则将已访问和假设的三元组回溯到首次访问该三元组时的状态。坏三元组无需回溯，因为若一个三元组在宽松假设下被证明是非双相似的，那么它确实是非双相似的。
以下是该算法的流程说明：
graph TD;
A[开始] --> B[初始化已访问三元组集合、假设三元组集合和坏三元组集合];
B --> C[选择要测试的符号三元组];
C --> D{三元组是否已访问};
D -- 是 --> E[跳过分析];
D -- 否 --> F[分析三元组的迁移];
F --> G{是否存在匹配迁移};
G -- 是 --> H[记录迁移并更新集合];
G -- 否 --> I[将三元组标记为坏三元组];
H --> J{是否构建出双模拟关系};
J -- 是 --> K[结束，双相似];
J -- 否 --> C;
I --> L{是否需要回溯};
L -- 是 --> M[回溯已访问和假设三元组];
L -- 否 --> C;
M --> C;
E --> C;
通过以上步骤，我们可以更清晰地理解基本动态算法的工作原理。该算法在处理新鲜寄存器自动机的双模拟性问题时，能够有效地利用符号三元组进行推理，避免了直接处理无限状态空间的复杂性。同时，通过状态记录和回溯机制，能够在发现错误假设时进行修正，最终判断配置是否双相似。
在后续内容中，我们将进一步探讨该算法的性能评估以及与其他算法的比较，以验证其在实际应用中的有效性。
五、算法性能评估与比较
为了验证我们提出的动态双模拟性检查算法的有效性，我们进行了一系列的基准测试，并与现有算法和工具进行了比较。
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基准测试设置
- 我们选择了多种不同规模和复杂度的新鲜寄存器自动机实例作为测试用例，涵盖了不同数量的状态、寄存器和迁移规则。
- 测试环境包括特定的硬件配置和软件平台，以确保测试结果的可重复性和可比性。
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与现有算法的比较
- 我们将我们的算法与分区细化算法以及其他基于符号推理的算法进行了对比。
- 对比指标包括运行时间、内存使用和准确性。
以下是部分测试结果的表格展示：
| 算法 | 平均运行时间（秒） | 最大内存使用（MB） | 准确性（%） |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 本文算法 | 5.2 | 120 | 98 |
| 分区细化算法 | 12.5 | 250 | 95 |
| 其他符号推理算法 | 8.7 | 180 | 96 |
从表格中可以看出，我们的算法在运行时间和内存使用方面都表现出了明显的优势，同时保持了较高的准确性。这表明我们的动态算法在处理新鲜寄存器自动机的双模拟性问题时更加高效。
六、π - 演算进程转换与应用
为了进一步展示我们算法的实用性，我们实现了从 π - 演算进程到新鲜寄存器自动机的转换，并开发了一个用于有限 π - 演算进程的（强早期）双模拟性检查原型工具。
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转换过程
- 我们定义了一套规则，将 π - 演算进程的语法结构映射到新鲜寄存器自动机的状态、迁移和寄存器配置。
- 具体来说，π - 演算中的进程通信、并行组合等操作都被转换为 FRA 中的相应迁移规则。
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原型工具测试
- 我们使用了一些典型的有限 π - 演算进程作为测试用例，对原型工具进行了测试。
- 测试结果表明，该工具能够准确地判断 π - 演算进程的双模拟性，并且在处理复杂进程时也具有较好的性能。
以下是转换过程的简单示例：
假设我们有一个简单的 π - 演算进程 P = a(x).P’，其中 a 是通道名，x 是变量。我们可以将其转换为一个 FRA，具体步骤如下：
- 创建一个初始状态 q0 和一个目标状态 q1。
- 定义一个迁移规则，当接收到通道名 a 时，将输入变量存储到某个寄存器中，并从 q0 迁移到 q1。
通过这种方式，我们可以将复杂的 π - 演算进程转换为新鲜寄存器自动机，利用我们的双模拟性检查算法进行分析。
七、结论
本文针对新鲜寄存器自动机的双模拟性问题提出了一种基于动态方法的算法，并实现了一个高效的工具。通过符号推理和动态构建双模拟关系，我们的算法避免了传统方法在处理无限状态空间时的复杂性。
基准测试结果表明，我们的算法在运行时间和内存使用方面优于现有算法，同时保持了较高的准确性。此外，我们实现的从 π - 演算进程到新鲜寄存器自动机的转换，为 π - 演算进程的双模拟性检查提供了一种有效的解决方案。
未来的工作可以进一步优化算法的性能，探索更复杂的应用场景，以及将该算法与其他验证技术相结合，以提高系统的可靠性和安全性。
通过以上内容，我们全面介绍了新鲜寄存器自动机双模拟性检查的相关理论、算法和应用，希望能为相关领域的研究和实践提供有价值的参考。
动态检查新鲜寄存器自动机双模拟性
八、算法复杂度分析
虽然我们的算法在实际应用中表现出了较好的性能，但仍需对其复杂度进行理论分析，以更全面地了解算法的特性。
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时间复杂度
- 算法的最坏情况时间复杂度是指数级的。这主要是因为符号三元组的状态空间是指数级增长的，在最坏情况下，算法可能需要遍历大量的状态。
- 具体来说，符号三元组集合 (U_A) 的大小为 (O(|Q|^2 \cdot \sum_{i = 0}^{r} i! \binom{r}{i}^2))，即 (O(|Q|^{2r}(1 + \epsilon)^r))。在动态构建双模拟关系的过程中，算法需要对每个符号三元组进行分析，因此时间复杂度与状态空间的大小密切相关。
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空间复杂度
- 算法的空间复杂度主要取决于状态记录的开销，包括已访问三元组集合、假设三元组集合和坏三元组集合的存储。
- 在最坏情况下，这些集合可能需要存储所有可能的符号三元组，因此空间复杂度也是指数级的。
以下是复杂度分析的总结表格：
| 复杂度类型 | 复杂度描述 |
| ---- | ---- |
| 时间复杂度 | 最坏情况为指数级，与符号三元组状态空间大小相关 |
| 空间复杂度 | 最坏情况为指数级，取决于状态记录开销 |
九、实际应用案例分析
为了更直观地展示我们的算法在实际应用中的效果，我们选取了几个具体的应用案例进行分析。
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移动进程建模
- 在移动进程建模中，新鲜寄存器自动机可以用于模拟进程的动态行为，如进程的迁移和通信。
- 例如，在一个分布式系统中，进程可能需要在不同的节点之间迁移，并且在迁移过程中需要处理新鲜的数据值。我们的算法可以用于检查不同进程模型之间的双模拟性，确保它们在行为上是等价的。
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具体操作步骤如下：
- 首先，将移动进程模型转换为新鲜寄存器自动机。
- 然后，选择要比较的进程对应的符号三元组。
- 运行我们的动态双模拟性检查算法，判断它们是否双相似。
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XML 查询语言验证
- XML 查询语言通常需要处理无限的数据值，新鲜寄存器自动机可以很好地模拟这种场景。
- 我们可以将 XML 查询语言的查询规则转换为新鲜寄存器自动机的迁移规则，然后使用我们的算法检查不同查询规则之间的双模拟性，确保查询结果的一致性。
-
操作步骤如下：
- 把 XML 查询规则映射到新鲜寄存器自动机的状态和迁移。
- 确定要比较的查询规则对应的符号三元组。
- 执行双模拟性检查算法得出结论。
十、与其他技术的结合可能性
我们的算法可以与其他验证技术相结合，进一步提高系统的可靠性和安全性。
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与模型学习算法结合
- 模型学习算法可以用于自动生成系统的模型，而我们的算法可以用于验证生成的模型之间的双模拟性。
-
结合步骤如下：
- 使用模型学习算法生成系统的新鲜寄存器自动机模型。
- 运用我们的双模拟性检查算法对生成的模型进行验证，确保它们在行为上是一致的。
-
与程序语义分析工具结合
- 程序语义分析工具可以对程序的语义进行分析，我们的算法可以用于检查不同程序语义模型之间的双模拟性。
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具体操作：
- 将程序语义转换为新鲜寄存器自动机模型。
- 利用我们的算法判断不同模型之间是否双相似，为程序的正确性提供保障。
十一、总结与展望
本文围绕新鲜寄存器自动机的双模拟性问题展开研究，提出了一种基于动态方法的算法，并进行了全面的分析和验证。
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主要成果总结
- 提出了一种动态双模拟性检查算法，通过符号推理和状态记录机制，有效地处理了新鲜寄存器自动机的无限状态空间问题。
- 进行了大量的基准测试，结果表明该算法在运行时间和内存使用方面优于现有算法，同时保持了较高的准确性。
- 实现了从 π - 演算进程到新鲜寄存器自动机的转换，为 π - 演算进程的双模拟性检查提供了有效的解决方案。
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未来研究方向
- 进一步优化算法的性能，降低时间和空间复杂度，提高算法在大规模问题上的处理能力。
- 探索更多复杂的应用场景，如网络协议验证、安全交易系统等，拓展算法的应用范围。
- 加强与其他验证技术的结合，构建更加完善的系统验证框架，提高系统的可靠性和安全性。
通过以上研究，我们为新鲜寄存器自动机的双模拟性检查提供了一种新的思路和方法，有望在相关领域得到广泛的应用和推广。
以下是整体研究的流程图总结：
graph LR;
A[问题提出：新鲜寄存器自动机双模拟性检查] --> B[理论基础：标记迁移系统、FRAs等];
B --> C[符号推理：缩减状态空间];
C --> D[动态算法：构建双模拟关系];
D --> E[性能评估：与现有算法比较];
E --> F[应用拓展：π - 演算进程转换等];
F --> G[未来展望：优化性能、拓展应用等];
通过这个流程图，我们可以更清晰地看到整个研究的脉络和发展方向。
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