21、Coq中多形式矩阵模型的集成

Coq中多形式矩阵模型的集成

1. 环与域理论的引入

在Coq中进行矩阵相关的形式化工作，首先需要引入环和域理论。以下是相关代码：

Require Import Ring Field.

Module Type RingSig.
  Parameters (A: Type) (A0 A1: A) (Aadd Amul: A → A → A) (Aopp: A → A).
  Notation Asub := (fun x y ⇒ (Aadd x (Aopp y))).
  Parameter Ring_thy : ring_theory A0 A1 Aadd Amul Asub Aopp eq.
  Add Ring Ring_thy_inst : Ring_thy.
End RingSig.

Module Type FieldSig <: RingSig.
  Parameter Ainv: A → A.
  Notation Adiv := (fun x y ⇒ (Amul x (Ainv y))).
  Parameters (Field_thy: field_theory A0 A1 Aadd Amul Asub Aopp Adiv Ainv eq).
  Add Field Field_thy_inst : Field_thy.
End FieldSig.

上述代码中， RingSig 模块类型用于定义环结构，其中 A 是载体类型， Aadd 、 Amul 、 Aopp 和 Asub 分别是加法、乘法、加法逆元和减法操作， A0 和 A1 是加法和乘法的单位元。 Ring_thy 是构建环结构的证明，通过 Add Ring 语句将环结构注册到Coq中，这样就可以在 A 上使用环策略。 FieldSig 模块类型继承自 RingSig ，增加了乘法逆元 Ainv 和除法 Adiv 操作，并将域结构注册到Coq中。

以规范有理数 Qc 为例，可以构建满足 RingSig 的具体模块：

Require Export Qcanon.

Module RingQc <: RingSig.
  Definition A := Qc.
  Definition A0 := 0.
  Definition A1 := 1.
  Definition Aadd := Qcplus.
  Definition Amul := Qcmult.
  Definition Aopp := Qcopp.
  Lemma Ring_thy: ring_theory A0 A1 Aadd Amul Qcminus Aopp eq.
  Add Ring Ring_thy_inst : Ring_thy.
End RingQc.

通过这种方式，可以为其他数据类型（如实数和复数）定义更多的环和域结构。

2. 矩阵接口的定义

矩阵接口或矩阵理论签名在 MatrixThySig 中定义，为了简化，它采用了满足一般要求的域结构，而不是基于载体层次结构进行组织：

Module Type MatrixThySig.
  Parameter A: Type.
  Variable r c s t: N.
  Parameters (mat: N → N → Type) (meq_dec: eqdec (@mat r c))
             (l2m: list (list A) → mat r c)
             (m2l: mat r c → list (list A))
             (l2m_bij: bij l2m) (m2l_bij: bij m2l) (l2m_m2l_id: ∀m, l2m (m2l m) = m)
             (m2l_l2m_id: ∀dl, length dl = r → width dl c → m2l (l2m dl) = dl)
             (mat0 mat1 : mat r c)
             (madd : mat r c → mat r c → mat r c)
             (mcmul : A → mat r c → mat r c)
             (mtrans : mat r c → mat c r)
             (mmul : mat r c → mat c s → mat r s).
  Infix "×" := mmul.
  Parameters (mmul_assoc : ∀(m1 : mat r c) (m2 : mat c s) (m3 : mat s t), (m1 × m2) × m3 = m1 × (m2 × m3)).
End MatrixThySig.

其中， A 表示载体类型，矩阵类型 mat 是一个由行数和列数决定的函数。 eqdec 表示矩阵相等是可判定的， l2m 和 m2l 是矩阵和列表之间的转换操作， l2m_bij 、 m2l_bij 、 l2m_m2l_id 和 m2l_l2m_id 表明 l2m 和 m2l 是双射函数且互为逆函数。 mat0 和 mat1 用于生成零矩阵和单位矩阵， madd 、 mcmul 、 mtrans 和 mmul 分别是矩阵加法、标量乘法、转置和乘法操作。

3. 矩阵的实现

3.1 矩阵理论实现框架

典型的矩阵理论实现框架是一个以 FieldSig 类型为参数的函子：

Module MatrixThy (E : FieldSig) <: MatrixThySig.
  Import X.
  Definition mat := @matrix E.A.
  (* other things ... *)
End MatrixThy.

这里的 X 代表一个具体的方案，它应该以自己的风格实现完整的矩阵操作。 MatrixThy 模块调用 X 中的内容，并基于统一接口 MatrixSig 完成实现。

3.2 NatFun方案的修正

许多方案中矩阵类型的定义符合 MatrixSig ，但 NatFun 方案需要修改，因为它的两个参数不能约束类型，导致无法区分不同形状的矩阵：

Variable A : Type.
Definition Matrix (r c : N) := N → N → C.
Variable mat1 : Matrix 2 3.
Check mat1 : Matrix 3 5.

Record mat (r c : N) := mkMat {mdata : N → N → A}.
Variable mat2 : mat 2 3.
Fail Check mat2 : mat 3 5.

Matrix 是 NatFun 中使用的矩阵定义， mat1 看似是一个2×3的矩阵，但它也能通过3×5矩阵的类型检查，说明参数 r 和 c 没有起到类型约束的作用。如果用记录类型 mat 包装，就变成了依赖类型，形状参数成为类型的一部分，例如 mat2 具有唯一的2×3矩阵类型。

3.3 所有矩阵实现的集合

基于相同接口提供多个矩阵模型后，可以组织这些实现，在模块级别管理矩阵模块实例：

Module MatrixAll (E : FieldSig).
  Module DP := DepPair.MatrixThy E.
  Module DL := DepList.MatrixThy E.
  Module DR := DepRec.MatrixThy E.
  Module NF := NatFun.MatrixThy E.
  Module FF := FinFun.MatrixThy E.
End MatrixAll.

Module MatrixR := MatrixAll FieldR.
Module MatrixR_DP := MatrixR.DP.
Module MatrixR_DL := MatrixR.DL.
Module MatrixR_DR := MatrixR.DR.
Module MatrixR_NF := MatrixR.NF.
Module MatrixR_FF := MatrixR.FF.

MatrixAll 是所有矩阵模型实现的集合或入口， DP 、 DL 、 DR 、 NF 和 FF 是具体矩阵模型的缩写。以实数域类型 FieldR 作为模块参数，实例化后得到 MatrixR 。对于具体使用，还提供了实例化矩阵模型的具体名称，例如 MatrixR_DR 表示以 R 为载体、 DepRec 为模型的形式矩阵理论。

4. OCaml代码提取

Coq中的形式矩阵不仅用于验证抽象数学性质，还可以通过程序提取获得正确的函数式程序。以OCaml程序提取为例，不同矩阵模型在提取过程中存在差异：
- 所有方案都能提取出有效的OCaml程序。
- 从提取代码的简洁性来看， DepList 和 DepPair 有更多冗余，主要包括矩阵形状的编码，而 DepRec 几乎没有冗余，因为它直接对应列表类型。
- NatFun 和 FinFun 得到的矩阵被定义为函数，虽然矩阵元素不能作为一个整体使用，但可以单独访问每个元素。

5. 矩阵模型之间的转换

构建多个具有相同功能和签名的模型后，需要在这些模型之间建立联系。 MatrixSig 中给出的一对转换函数 l2m 和 m2l 及其相关属性就是为此目的准备的，这对函数适用于所有五个模型，可以用于在任意模型之间进行转换。

以 DepList 和 DepPair 之间的转换为例：

Variable r c: N.
Definition dp2dl (m:DP.mat r c) : DL.mat r c := DL.l2m (DP.m2l m).
Definition dl2dp (m:DL.mat r c) : DP.mat r c := DP.l2m (DL.m2l m).

Lemma dl2dp_bij: bij (@dl2dp r c).
Lemma dp2dl_bij: bij (@dp2dl r c).
Lemma dl2dp_dp2dl_id: ∀(m: DP.mat r c), dl2dp (dp2dl m) = m.
Lemma dp2dl_dl2dp_id: ∀(m: DL.mat r c), dp2dl (dl2dp m) = m.

dl2dp 是从 DepList 到 DepPair 的转换，由 DL.m2l 和 DP.l2m 组成。可以证明 dl2dp 和 dp2dl 是双射函数，且它们的组合是恒等函数。

以下是转换过程的mermaid流程图：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    A(DepPair矩阵):::process -->|DP.m2l| B(列表(list (list A))):::process
    B -->|DL.l2m| C(DepList矩阵):::process
    C -->|DL.m2l| D(列表(list (list A))):::process
    D -->|DP.l2m| A(DepPair矩阵):::process

6. 矩阵模型的同构性

某些矩阵操作在每个矩阵模型下形成一些代数系统，如矩阵加法、标量乘法和方阵乘法。这些代数系统的结构相似，可以证明它们之间的同构性。同构的代数系统保留某些性质，如结合律和分配律：

Variable A B C: Type. Variable fc: C → C → C.
Variable fa ga: A → A → A.
Variable fb gb: B → B → B.

Definition isomor:= ∃(φ: A → B), homo fa fb φ ∧ bij φ.
Definition isomor2:= ∃(φ: A → B), homo fa fb φ ∧ homo ga gb φ ∧ bij φ.

Lemma isoComm: isomor fa fb → (comm fa ↔ comm fb).
Lemma isoAssoc: isomor fa fb → (assoc fa ↔ assoc fb).
Lemma iso2DistrL: isomor2 fa ga fb gb ↔ distr_l fa ga ↔ distr_l fb gb.

以 DL 和 DP 上的矩阵加法和方阵乘法为例：

Variable r c n : N.
Lemma isoMadd: isomor (@DL.madd r c) (@DP.madd r c).
Lemma isoMmul: isomor (@DL.mmul n n n) (@DP.mmul n n n).
Lemma addComm: comm (@DL.madd r c) ↔ comm (@DP.madd r c).
Lemma addAssoc: assoc (@DL.madd r c) ↔ assoc (@DP.madd r c).
Lemma distrL: distr_l DL.madd DL.mmul ↔ distr_l DP.madd DP.mmul.

isoMadd 表示 ⟨Mdl, +dl⟩ 和 ⟨Mdp, +dp⟩ 是同构的， isoMmul 表示 ⟨Mdl, ×dl⟩ 和 ⟨Mdp, ×dp⟩ 是同构的，其余引理表示交换律、结合律和分配律在两个结构上分别等价，可以直接使用同构理论进行证明。

7. 不同矩阵模型的比较

不同矩阵模型可以分为“编程思维”和“数学思维”两类，根据当前的理解和实践经验，对它们进行了评级，如下表所示：
| 模型 | 成熟度 | 定义简洁性 | 证明简洁性 | 提取的OCaml代码简洁性 | 语法或技巧简单性 |
| — | — | — | — | — | — |
| DepList | ⋆ | ⋆ | ⋆ | ⋆ | ⋆⋆ |
| DepPair | ⋆ | ⋆ | ⋆ | ⋆ | ⋆⋆ |
| DepRec | ⋆⋆ | ⋆ | ⋆⋆ | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆⋆ |
| NatFun | ⋆⋆ | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆ | ⋆⋆ |
| FinFun | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆⋆ | ⋆⋆ | ⋆ |

每个评级用1 - 3颗星表示，星数越多越好。需要注意的是，定理证明库缺乏可量化的评估方法，这些评级是主观和片面的，但可以帮助开发者做出一定的选择。

8. 矩阵库的使用示例

构建统一接口的矩阵库后，使用矩阵库的验证项目无需考虑底层模型的限制。例如，在坐标变换的应用场景中，需要证明三个转置矩阵的乘积等于给定矩阵，可以随意选择矩阵库 DL ，切换到 DP 、 DR 、 NF 或 FF 时代码几乎没有变化：

Import MatrixR_DL. (* DP/ DR/ FUN/ FF. *)
Infix "×" := mmul.
Notation "m T " := (mtrans m).

Variable ψ, θ, φ: R.
Definition Rx := mkMat33 1 0 0 0 (cos φ) (sin φ) 0 (-sin φ) (cos φ).
Definition Ry := mkMat33 (cos θ) 0 (-sin θ) 0 1 0 (sin θ) 0 (cos θ).
Definition Rz := mkMat33 (cos ψ) (sin ψ) 0 (-sin ψ) (cos ψ) 0 0 0 1.

Lemma Rbe_ok := (Rz)T × (Ry)T × (Rx)T = mkMat33
  (cos θ × cos ψ) (cos ψ × sin θ × sin φ - sin ψ × cos φ)
  (cos ψ × sin θ × cos φ + sin φ × sin ψ) (cos θ × sin ψ)
  (sin ψ × sin θ × sin φ + cos ψ × cos φ) (sin ψ × sin θ × cos φ - cos ψ × sin φ)
  (-sin θ) (sin φ × cos θ) (cos φ × cos θ).

9. 总结与展望

矩阵在数学和计算机科学中是重要的工具，但由于矩阵理论的复杂性，相关的系统设计或程序需要使用形式化方法（特别是定理证明）来确保正确性。通过创建统一的矩阵接口，集成五个矩阵模型，创建双射函数建立矩阵操作之间的同构性，并提供评估评级，为开发者在早期选择矩阵模型提供了帮助，同时显著降低了后期切换模型的成本。

未来的工作方向包括：
- 进一步探索矩阵的层次结构，如类型类、规范结构和模块等技术，构建更详细的层次结构。
- 统一矩阵模型中用 Ltac 定义的特殊策略。
- 实现大量尚未在任何矩阵模型中实现的矩阵理论。

Coq中多形式矩阵模型的集成

10. 关键技术点分析

• 模块类型的运用 ：在Coq中， Module Type 用于创建可作为其他模块参数的模块。像 RingSig 和 FieldSig 模块类型，定义了环和域的结构，为后续构建具体的环和域模块提供了模板。通过这种方式，可以方便地对不同的数据类型定义环和域结构，例如规范有理数 Qc 的环结构 RingQc 。
• 矩阵接口的设计 ： MatrixThySig 定义了矩阵接口，采用满足一般要求的域结构。它包含了矩阵类型的定义、矩阵相等的判定、矩阵与列表的转换操作、矩阵的基本运算（加法、标量乘法、转置、乘法）以及乘法的结合律等。这种设计使得不同的矩阵模型可以基于统一的接口进行实现。
• 矩阵模型的集成 ：通过 MatrixAll 模块将多个矩阵模型（ DepPair 、 DepList 、 DepRec 、 NatFun 、 FinFun ）集成在一起。以实数域类型 FieldR 作为参数实例化后，得到 MatrixR ，并为每个具体的矩阵模型提供了实例化名称，方便开发者使用。
• 矩阵模型的转换与同构 ： MatrixSig 中提供的 l2m 和 m2l 转换函数，使得不同矩阵模型之间可以进行转换。同时，通过定义同构关系，证明了某些矩阵操作在不同模型下的代数系统是同构的，从而保留了结合律、分配律等重要性质。

11. 操作步骤总结

11.1 构建环和域结构

1. 引入 Ring 和 Field 库： Require Import Ring Field.
2. 定义环结构模块类型 RingSig ，并在其中定义载体类型、运算操作和环结构证明。
3. 定义域结构模块类型 FieldSig ，继承自 RingSig ，增加乘法逆元和除法操作。
4. 构建具体的环和域模块，如 RingQc 。

11.2 实现矩阵模型

1. 定义矩阵接口 MatrixThySig ，包含矩阵的基本属性和运算。
2. 构建矩阵理论实现框架 MatrixThy ，以 FieldSig 类型为参数。
3. 修正 NatFun 方案中矩阵类型的定义，使其具有类型约束。
4. 集成所有矩阵模型到 MatrixAll 模块，并进行实例化。

11.3 进行矩阵模型转换与同构证明

1. 使用 MatrixSig 中的 l2m 和 m2l 函数进行矩阵模型之间的转换。
2. 定义同构关系，证明矩阵操作在不同模型下的代数系统是同构的。

12. 不同矩阵模型的优缺点对比

模型	优点	缺点
DepList	- 实现相对直观	- 提取代码有冗余，包含矩阵形状编码
DepPair	- 实现相对直观	- 提取代码有冗余，包含矩阵形状编码
DepRec	- 提取代码简洁，直接对应列表类型	- 成熟度相对较低
NatFun	- 定义简洁，证明简洁	- 矩阵元素不能作为整体使用
FinFun	- 定义简洁，证明简洁	- 矩阵元素不能作为整体使用，语法或技巧相对复杂

13. 实际应用场景

• 坐标变换 ：在坐标变换的应用场景中，使用统一接口的矩阵库可以方便地进行矩阵运算和证明。例如，证明三个转置矩阵的乘积等于给定矩阵，无需考虑底层模型的限制。
• 量子电路优化 ：在量子电路的优化中，矩阵运算起着重要作用。通过形式化的矩阵模型，可以对量子电路的操作进行验证和优化。

14. 总结

在Coq中集成多个形式矩阵模型，为开发者提供了统一的接口和方便的使用方式。通过创建统一的矩阵接口、集成多个模型、建立模型之间的转换和同构关系，以及提供评估评级，降低了开发者选择和切换矩阵模型的成本。同时，不同矩阵模型各有优缺点，开发者可以根据具体的应用场景和需求进行选择。

未来，随着矩阵理论的不断发展和应用需求的增加，进一步完善矩阵的层次结构、统一特殊策略和实现更多的矩阵理论将是重要的研究方向。通过持续的努力，将能够更好地利用形式化方法确保矩阵相关系统和程序的正确性。

15. 流程图总结

以下是整个矩阵模型集成过程的mermaid流程图：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    A(引入环和域库):::process --> B(定义环和域模块类型):::process
    B --> C(构建具体环和域模块):::process
    C --> D(定义矩阵接口):::process
    D --> E(构建矩阵理论实现框架):::process
    E --> F(修正NatFun方案):::process
    F --> G(集成所有矩阵模型):::process
    G --> H(进行矩阵模型转换):::process
    H --> I(证明矩阵操作同构):::process
    I --> J(应用矩阵库进行验证):::process

这个流程图展示了从引入环和域库开始，到最终应用矩阵库进行验证的整个过程，清晰地呈现了各个步骤之间的关系。