20、Coq 中多种形式矩阵模型的集成与分析

Coq 中多种形式矩阵模型的集成与分析

1. 向量与矩阵基础

在当前的实现中，向量和矩阵存在一定的关联。向量长度为 n 时，可定义为 n × 1 维的矩阵，这遵循了数学惯例。向量理论复用了许多矩阵理论，在向量和矩阵操作时避免了类型转换。

以下是向量接口、FVL（可能是某种向量层）和 VApp（可能是向量应用）之间的关系：
| 元素 | 说明 |
| ---- | ---- |
| VApp-1 到 VApp-n | 表示多种向量应用 |
| FVL-1 到 FVL-5 | 代表不同的 FVL 实例 |
| FML-1 到 FML-5 | 相关的 FML（可能是某种矩阵层）实例 |

FVL 使用 FML 只是一种推荐做法，实际上向量签名并不强制 FVL 使用 FML，因为向量和矩阵在理论上是独立的。

2. 不同的形式矩阵模型

目前存在五种形式矩阵模型，下面分别介绍它们的定义、实现的功能及特点。

2.1 DepList: Dependent List

该模型基于 Coq 标准库的向量类型，矩阵类型定义如下：

Inductive vec (A : Type) : N →Type :=
| nil : vec A 0 | cons : A →∀n : N, vec A n →vec A (S n).
Definition mat (r c : N) := vec (vec A c) r.

此库实现了矩阵在集合上的定义、获取矩阵元素、单位矩阵、转置、加法、乘法及相关属性。支持使用函子实现多态矩阵，要求载体为半环。

其优势和劣势如下：
| 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- |
| 基于 Coq 标准库开发，易吸引开发者 | 向量库内容不如列表库成熟，需大量开发 |
| 归纳定义的数据结构易证明，类列表结构易理解 | 证明比普通列表结构更棘手 |
| 基于集合的相等定义比莱布尼茨相等适用性更广 | |
| 可通过嵌套 vec 结构定义高维数组 | |

2.2 DepPair: Dependent Pair

该模型采用递归函数定义矩阵，定义如下：

Fixpoint Tn (A : Type) (n : N) : Type :=
match n with O ⇒unit | S n ⇒prod A (Tn A n) end.
Definition mat A (r c : N) := Tn (Tn A c) r.

此库实现了矩阵构造、单位矩阵、加法、乘法及相关属性，矩阵载体类型按数学层次组织。

其优势和劣势如下：
| 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- |
| 矩阵构造简单，仅用对结构即可创建矩阵 | 实现的矩阵理论不多 |
| 结构可扩展，载体基于数学层次精心设计 | 完成证明需要依赖类型证明的技能 |
| 可通过嵌套 Tn 结构定义高维数组 | |

2.3 DepRec: Dependent Record

该模型将矩阵定义为记录，包含数据和证明字段，定义如下：

Fixpoint width {A : Type} (dl : list (list A)) (n : N) : Prop :=
match dl with nil ⇒True | cons x t ⇒(length x = n) ∧width t n end.
Record matrix {A : Type} {r c : N} : Type := mkMatrix {
mdata: list (list A);
matH : length mdata = r;
matW : width mdata c}.

此库实现了矩阵构造、零矩阵、单位矩阵、加法、标量乘法、转置、乘法及相关属性，还实现了块矩阵。计算和证明分离，逻辑清晰。

其优势和劣势如下：
| 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- |
| 成熟的列表库为矩阵开发提供丰富支持 | 脚本较长，需分别构造数据和提供两个证明 |
| 计算和证明分离使逻辑清晰 | 扩展性稍差，目前固定为二维数组，无法直接实现高维数组 |
| 提取的 OCaml 程序数据结构简洁 | |

2.4 NatFun: Function with Natural Indexing

矩阵定义为两个自然数到复数的函数，定义如下：

Definition Matrix (r c : N) := N →N →C.

此库实现了列表和矩阵的转换、零矩阵、单位矩阵、加法、标量乘法、乘法、转置、迹及相关属性。矩阵操作简洁，例如：

Variable C0 C1 : C.
Variable Cplus Cmult : C →C →C.
Infix "+" := Cplus. Infix "×" := Cmult.
Fixpoint Csum (f : N →C) (n : N) : C :=
match n with O ⇒C0 | S n’ ⇒Csum f n’ + f n’ end.
Definition I (n : N) : Matrix n n := fun i j ⇒if (i =?j) then C1 else C0.
Definition Mmult {r c s: N} (A: Matrix r c) (B: Matrix c s) : Matrix r s :=
fun x z ⇒Csum (fun y ⇒A x y × B y z) c.

其优势和劣势如下：
| 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- |
| 函数定义简洁 | 无对应的结构化数据类型 |
| 属性证明简洁 | 矩阵定义中描述形状的两个参数无法约束类型 |

2.5 FinFun: Function with Finite Indexing

该模型与 NatFun 类似，用有限元素集替换自然数索引，矩阵定义如下：

From mathcomp Require Import eqtype seq finfun finctype.
Variant matrix {R : Type} {m n : N } : predArgType :=
Matrix of {ffun ’I m × ’I n →R}.

此库实现的形式矩阵理论非常丰富，包括不同形状的块矩阵、行列式、伴随矩阵、逆矩阵和 LU 分解等。证明脚本通常较短，但 SSR 语言对新用户不友好，很多表达式无法简化。

其优势和劣势如下：
| 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- |
| 实现的矩阵理论最多 | 需要更多数学背景，对新手不友好 |
| 由于 SSR 语言扩展，证明简洁 | SSR 扩展和过多符号难以理解 |
| 清晰的数学层次便于组织矩阵操作和属性 | 表达式无法简化，无法直观获得矩阵操作结果 |

3. 集成矩阵库

每种矩阵模型都有优缺点，没有一种能满足所有情况。前三种模型更适合矩阵符号计算，后两种更适合验证数学属性。接下来将集成这些不同的方案，以降低技术壁垒。

3.1 数学属性

使用的数学属性定义如下：

Variable A B : Type.
Variable a b c : A.
Variable Aop1 Aop2: A →A →A.
Variable Bop1: B →B →B.
Infix "+" := Aop1. Infix "×" := Aop2. Infix "⊕" := Bop1.
Definition eqdec := {a = b} + {a ≠ b}.
Definition inj (f : A →B) := ∀(a1 a2 : A), f a1 = f a2 →a1 = a2.
Definition surj (f : A →B) := ∀(b : B), (∃(a : A), f a = b).
Definition bij (f : A →B) := inj f ∧surj f.
Definition comm:= a + b = b + a.
Definition assoc:= a + (b + c) = (a + b) + c.
Definition distr l := (a + b) × c = a × c + b × c.
Definition homo (f :A →B) := f (a + b) = (f a) ⊕(f b).

这些属性用于描述集合的相等性、函数的性质、二元运算的定律以及同态映射等。

3.2 矩阵元素的多态性和层次结构

矩阵是通用数据结构，其载体可以是任何类型。在 Coq 中，可直接定义多态函数或使用函子在模块级别实现多态。

为避免多态矩阵因类型约束少导致的冗余代码，可遵循矩阵载体的层次结构进行设计。Coq 中实现层次结构至少有三种技术：
1. Type Classes ：通过重载符号和上下文生成抽象结构，允许灵活组合不同片段构建复杂理论，但会使系统复杂度随规模快速增长。
2. Canonical Structures ：利用提示数据库扩展 Coq 系统的统一算法，解决从一般到个别的类型推理问题。在 MC 项目中实现了 11 级层次结构，具有可扩展性和标准化。
3. 使用 Coq 内置模块类型 ：处理类型问题不需要太多技能，但构建过程不够灵活。例如，将加法群 ⟨A, +⟩ 和乘法半群 ⟨B, ∗⟩ 组合成环 ⟨R, +, ∗⟩ 时，载体 A 和 B 的类型难以统一到 R 。

考虑到主要实现工程中常用的有理数、实数、复数和函数的矩阵理论，特别是使用 Coq 中的环和域策略自动求解矩阵元素方程，我们只考虑环和域的两级结构。为保持一致性，基于 Coq 标准库手动构建了 RingSig 和 FieldSig 模块类型。

Coq 中多种形式矩阵模型的集成与分析

3.3 统一矩阵接口

为了集成不同的矩阵模型，需要定义一个统一的矩阵接口。这个接口将为各种矩阵操作提供统一的调用方式，使得不同模型之间可以方便地交互。以下是一个简单的统一矩阵接口示例：

Module Type MatrixInterface.
  Parameter A : Type.
  Parameter r c : N.
  Parameter mat : Type.
  Parameter zero : mat.
  Parameter id : mat.
  Parameter add : mat -> mat -> mat.
  Parameter mul : mat -> mat -> mat.
  Parameter transpose : mat -> mat.
  (* 其他操作可以根据需要添加 *)
End MatrixInterface.

在这个接口中，定义了矩阵的载体类型 A 、行数 r 、列数 c 、矩阵类型 mat ，以及一些基本的矩阵操作，如零矩阵 zero 、单位矩阵 id 、加法 add 、乘法 mul 和转置 transpose 。不同的矩阵模型可以通过实现这个接口来融入统一的框架。

3.4 矩阵的实现

在实现矩阵时，需要根据具体的模型进行相应的处理。以 DepList 模型为例，其矩阵实现代码如下：

Module DepListMatrix <: MatrixInterface.
  Definition A := nat. (* 示例载体类型 *)
  Definition r := 2. (* 示例行数 *)
  Definition c := 2. (* 示例列数 *)
  Inductive vec (A : Type) : N -> Type :=
  | nil : vec A 0 | cons : A -> forall n : N, vec A n -> vec A (S n).
  Definition mat := vec (vec A c) r.
  (* 实现零矩阵、单位矩阵、加法、乘法、转置等操作 *)
  Definition zero : mat := (* 零矩阵的具体实现 *)
  Definition id : mat := (* 单位矩阵的具体实现 *)
  Definition add (m1 m2 : mat) : mat := (* 加法的具体实现 *)
  Definition mul (m1 m2 : mat) : mat := (* 乘法的具体实现 *)
  Definition transpose (m : mat) : mat := (* 转置的具体实现 *)
End DepListMatrix.

对于其他模型，也可以类似地实现矩阵接口中的操作。

3.5 模型之间的转换

为了使不同的矩阵模型能够相互协作，需要实现模型之间的转换。以下是一个从 DepList 模型到 NatFun 模型的转换示例：

Definition DepListToNatFun (m : DepListMatrix.mat) : NatFun.Matrix DepListMatrix.r DepListMatrix.c :=
  fun i j => (* 根据 DepList 矩阵 m 计算 NatFun 矩阵对应位置的值 *)

通过这种方式，可以将一个模型表示的矩阵转换为另一个模型表示的矩阵，从而实现不同模型之间的交互。

3.6 模型的同构性

模型的同构性是指不同的矩阵模型在结构和操作上具有相似性，可以通过某种映射相互转换。例如，DepList 模型和 DepPair 模型虽然定义方式不同，但在本质上都表示矩阵，可以找到一种同构映射，使得它们在矩阵操作上具有一致性。

下面是一个简单的同构性验证流程图：

graph LR
  A[定义 DepList 矩阵 m1] --> B[DepList 转 DepPair]
  B --> C[得到 DepPair 矩阵 m2]
  D[定义 DepPair 矩阵 m3] --> E[DepPair 转 DepList]
  E --> F[得到 DepList 矩阵 m4]
  G[检查 m1 和 m4 是否同构] --> H[是]
  G --> I[否]
  J[检查 m2 和 m3 是否同构] --> K[是]
  J --> L[否]

4. 模型的比较分析

不同的矩阵模型在功能、性能和易用性等方面存在差异。以下是一个简单的比较表格：
| 模型 | 适合场景 | 优势 | 劣势 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| DepList | 矩阵符号计算 | 基于标准库，易理解和证明，可扩展维度 | 向量库不成熟，证明较难 |
| DepPair | 矩阵符号计算 | 构造简单，结构可扩展 | 实现理论少，证明需技能 |
| DepRec | 矩阵符号计算 | 列表库支持，逻辑清晰，提取代码简洁 | 脚本长，扩展性稍差 |
| NatFun | 验证数学属性 | 定义和证明简洁 | 无结构化类型，形状参数无约束 |
| FinFun | 验证数学属性 | 理论丰富，证明简洁，层次清晰 | 需数学背景，符号难理解，表达式难简化 |

5. 矩阵接口的使用示例

以下是一个使用统一矩阵接口进行矩阵加法的示例：

Module Example.
  Import DepListMatrix.
  Let m1 := (* 定义 DepList 矩阵 m1 *)
  Let m2 := (* 定义 DepList 矩阵 m2 *)
  Let result := add m1 m2.
  Print result.
End Example.

在这个示例中，我们导入了 DepListMatrix 模块，并使用统一矩阵接口中的加法操作对两个矩阵进行相加，最后打印结果。

6. 结论

通过对多种形式矩阵模型的研究和集成，我们可以根据不同的需求选择合适的模型。集成这些模型可以降低技术壁垒，提高开发效率。同时，统一的矩阵接口和模型之间的转换机制使得不同模型能够相互协作，为矩阵计算和验证提供了更强大的支持。在实际应用中，需要根据具体场景权衡不同模型的优缺点，选择最适合的模型来解决问题。