19、并发对象活性可判定性与矩阵模型集成研究

并发对象活性可判定性与矩阵模型集成研究

并发对象在TSO内存模型下的活性可判定性

在TSO（Total Store Order）内存模型中，并发对象的活性问题是一个重要的研究领域，涉及多种活性属性的可判定性。

四种活性属性的不可判定性

有四种活性属性，分别是无锁性（lock - freedom）、无等待性（wait - freedom）、无死锁性（deadlock - freedom）和无饥饿性（starvation - freedom）。对于有限数量的进程，在TSO内存模型下，这些属性的检查问题是不可判定的。

证明过程基于一个特定的库L(A, B)，对于该库的每个无限执行t，模拟CM′(A,B)的执行时存在三种情况：
1. 情况1 ：模拟失败，因为某些readOne操作没有读取到预期的值。此时，由于failSimu被设置为true，每个方法会立即返回，执行t满足无等待性，进而满足无锁性，且执行可能是公平的也可能是不公平的。
2. 情况2 ：模拟过程成功，并且t在猜测阶段无限循环。由于每个方法在猜测阶段经过有限步骤后返回，执行t满足无等待性，从而满足无锁性，且执行一定是公平的。
3. 情况3 ：模拟过程成功，并且t在检查阶段无限循环，且无限次访问状态s1。在这种情况下，M1和M2在检查阶段不返回，执行t违反无锁性，进而违反无等待性，且执行一定是公平的。

通过将检查CM′(A,B)是否有无限次访问s1的执行问题，归约为检查L(A, B)是否有情况3的无限执行（公平且违反无等待性和无锁性）问题，证明了这四种活性属性的不可判定性。即使对存储缓冲区施加活性条件（要求缓冲项最终被刷新），这些结果仍然成立。

下面用表格总结三种情况：
| 情况 | 模拟情况 | 执行循环阶段 | 活性属性满足情况 | 公平性 |
| — | — | — | — | — |
| 情况1 | 失败 | 无 | 满足无等待性和无锁性 | 可能公平或不公平 |
| 情况2 | 成功 | 猜测阶段 | 满足无等待性和无锁性 | 公平 |
| 情况3 | 成功 | 检查阶段，无限次访问s1 | 违反无等待性和无锁性 | 公平 |

阻塞自由性的可判定性

阻塞自由性（obstruction - freedom）的判定与上述四种属性不同，它是可判定的。

首先介绍基本的TSO并发系统，每个进程运行一个有限控制状态程序，可以执行内部、读取、写入和比较并交换（cas）操作，不同进程通过共享内存进行通信。形式上，一个基本的TSO并发系统是一个元组(P1, …, Pn)，每个Pi是一个元组(Qi, Δi)，其中Qi是有限控制状态集，Δi是转移关系。

为了验证阻塞自由性，引入了阻塞对（blocking pairs）的概念。阻塞对定义在SC（Sequential Consistency）内存模型的并发系统上，用于捕获潜在的阻塞自由性违反情况。给定一个状态q和一个内存估值d，如果在L, 1sc中存在一个配置(p, d, u)，使得进程1的状态为q，并且存在一个从(p, d, u)开始的无限执行，且该执行没有返回动作，则(q, d)是一个阻塞对。

有如下引理：给定一个库L，存在一个L, n的无限执行t违反TSO上的阻塞自由性，当且仅当存在一个L, n的有限执行t′和一个进程proc，使得t′导致一个配置(p, d, uinit)，其中(p(proc), d)是一个阻塞对。

由于CTL∗公式的模型检查问题对于有限状态LTS是可判定的，可以通过枚举L, 1sc的所有配置并进行模型检查来计算阻塞对的集合。因此，阻塞自由性的检查问题可以归约为可判定的状态可达性问题，即阻塞自由性是可判定的。

下面是检查阻塞自由性的流程：
1. 定义基本的TSO并发系统。
2. 引入阻塞对的概念。
3. 证明引理，将阻塞自由性问题归约为状态可达性问题。
4. 利用CTL∗公式的模型检查计算阻塞对集合。
5. 得出阻塞自由性可判定的结论。

mermaid格式流程图如下：

graph TD;
    A[定义基本TSO并发系统] --> B[引入阻塞对概念];
    B --> C[证明引理];
    C --> D[计算阻塞对集合];
    D --> E[得出阻塞自由性可判定结论];

形式矩阵模型在Coq中的集成

在Coq定理证明器中，矩阵形式化是一个重要的研究方向，但目前存在一些问题。

问题背景

Coq社区至少提出了五种形式矩阵模型，但Coq标准库并未实现它们。开发者在选择合适的矩阵模型时面临困难，并且切换模型的成本很高。这些模型虽然在一定程度上形式化了矩阵理论，实现了一些基本的矩阵代数操作，如矩阵加法、标量乘法、转置和乘法，但对于矩阵规范形、因式分解、矩阵序列和广义逆矩阵等复杂部分的研究较少。

不同模型之间存在竞争关系，且具有不同的数据结构和函数、定理签名，导致开发者在切换模型时几乎需要完全重写与矩阵相关的脚本，这使得验证进度缓慢。

解决方案

为了解决这些问题，采取了以下措施：
1. 定义统一矩阵接口 ：使用Module Type定义一个统一的矩阵接口，将不同模型中实现的矩阵操作和属性抽象为一个统一的接口供外部使用。
2. 集成现有模型 ：基于统一接口，集成Coq社区中的五种形式矩阵方案。
3. 构建转换函数 ：构造不同模型之间的双射转换函数，形成同构关系，建立模型之间的联系。
4. 建立同构操作 ：为某些操作建立同构关系，为某些属性提供另一种证明方法。
5. 支持多态矩阵 ：使用函子实现多态矩阵，支持不同的矩阵元素类型，如有理数、实数和函数。

通过这种方式，底层形式矩阵库（FML）的开发与上层矩阵应用（MApp）的工作有效解耦，便于多团队协作。矩阵库开发者可以基于统一的签名并行设计多个方案，MApp开发者使用该接口进行矩阵验证开发。

下面用表格总结解决方案：
| 措施 | 具体内容 |
| — | — |
| 定义统一矩阵接口 | 使用Module Type抽象矩阵操作和属性 |
| 集成现有模型 | 基于接口集成五种形式矩阵方案 |
| 构建转换函数 | 构造双射转换函数，建立模型联系 |
| 建立同构操作 | 为操作建立同构关系，提供证明方法 |
| 支持多态矩阵 | 使用函子支持不同矩阵元素类型 |

mermaid格式流程图展示底层与上层的关系：

graph LR;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    FML1(FML - 1):::process;
    FML2(FML - 2):::process;
    FML3(FML - 3):::process;
    FML4(FML - 4):::process;
    FML5(FML - 5):::process;
    MApp1(MApp - 1):::process;
    MApp2(MApp - 2):::process;
    MAppn(MApp - n):::process;
    Sig(Signature of Matrix Theory):::process;
    Imp(Implemented):::process;
    Ax(Axiomized):::process;
    FML1 --> Sig;
    FML2 --> Sig;
    FML3 --> Sig;
    FML4 --> Sig;
    FML5 --> Sig;
    Sig --> MApp1;
    Sig --> MApp2;
    Sig --> MAppn;
    Imp --> Sig;
    Ax --> Sig;
    FML1 <--> FML2;
    FML2 <--> FML3;
    FML3 <--> FML4;
    FML4 <--> FML5;
    FML5 <--> FML1;

由于向量理论与矩阵理论在数学上可转换，并且向量理论有众多应用，还提供了向量形式化，其接口设计与矩阵接口类似，同样实现了底层形式向量库（FVL）与上层向量应用（VApp）的解耦。

并发对象活性可判定性与矩阵模型集成研究

并发对象活性可判定性总结与启示

并发对象在TSO内存模型下的活性可判定性研究为我们理解并发系统的行为提供了重要的理论基础。四种活性属性（无锁性、无等待性、无死锁性和无饥饿性）的不可判定性表明，在TSO内存模型下，对于有限数量的进程，要准确判断这些属性是非常困难的。这意味着在设计和实现并发系统时，我们不能简单地依赖于自动化的方法来验证这些活性属性，而需要采用更复杂的分析和验证技术。

而阻塞自由性的可判定性则为我们提供了一个相对乐观的结果。通过引入阻塞对的概念，并将阻塞自由性问题归约为可判定的状态可达性问题，我们可以有效地验证并发系统的阻塞自由性。这为并发系统的设计和验证提供了一种可行的方法，使得我们可以在一定程度上保证系统的活性。

下面是对并发对象活性可判定性的总结表格：
| 活性属性 | 可判定性 | 证明方法 | 实际影响 |
| — | — | — | — |
| 无锁性、无等待性、无死锁性、无饥饿性 | 不可判定 | 归约到CM′(A,B)的执行问题 | 设计和验证时需采用复杂技术 |
| 阻塞自由性 | 可判定 | 归约为状态可达性问题 | 可有效验证系统活性 |

形式矩阵模型集成的优势与应用场景

形式矩阵模型在Coq中的集成解决了开发者在选择和切换矩阵模型时面临的困难，具有多方面的优势和广泛的应用场景。

优势分析

• 降低开发成本 ：通过定义统一的矩阵接口，开发者可以在不同的矩阵模型之间进行切换，而无需完全重写与矩阵相关的脚本，大大降低了开发成本。
• 促进多团队协作 ：底层形式矩阵库（FML）的开发与上层矩阵应用（MApp）的工作有效解耦，不同团队可以基于统一的接口并行开展工作，提高了开发效率。
• 提供更多证明方法 ：构建不同模型之间的同构关系，为某些属性提供了另一种证明方法，丰富了证明手段。
• 支持多态矩阵 ：使用函子实现多态矩阵，支持不同的矩阵元素类型，增强了矩阵模型的通用性。

应用场景

• 科学计算 ：在控制系统、信号处理和神经网络等领域，矩阵运算广泛应用。集成的矩阵模型可以为这些领域的科学计算提供可靠的验证支持。
• 算法设计 ：在设计矩阵算法时，开发者可以根据具体需求选择合适的矩阵模型，并利用统一接口进行验证，提高算法的正确性和可靠性。
• 教学研究 ：在教学和研究中，集成的矩阵模型可以为学生和研究人员提供一个统一的平台，方便他们学习和研究矩阵理论。

下面是形式矩阵模型集成的优势和应用场景的列表：
- 优势 ：
- 降低开发成本
- 促进多团队协作
- 提供更多证明方法
- 支持多态矩阵
- 应用场景 ：
- 科学计算
- 算法设计
- 教学研究

未来研究方向

虽然并发对象活性可判定性和形式矩阵模型集成已经取得了一定的成果，但仍然存在一些有待进一步研究的方向。

并发对象活性可判定性

• 更弱内存模型的研究 ：目前的研究主要集中在TSO内存模型，对于更弱的内存模型，如ARM和POWER的内存模型，其活性属性的可判定性还需要进一步研究。
• 有界版本活性属性的研究 ：研究有界版本的活性属性（如k - 有界无锁性、有界无等待性等）在不同内存模型下的可判定性，为实际应用提供更精确的理论支持。

形式矩阵模型集成

• 更多矩阵理论的实现 ：目前集成的矩阵模型主要实现了基本的矩阵代数操作，对于矩阵规范形、因式分解、矩阵序列和广义逆矩阵等复杂部分的研究还需要进一步加强。
• 与其他定理证明器的集成 ：探索将集成的矩阵模型与其他定理证明器进行集成，扩大其应用范围。

下面是未来研究方向的mermaid格式流程图：

graph LR;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A(并发对象活性可判定性):::process;
    B(形式矩阵模型集成):::process;
    A1(更弱内存模型研究):::process;
    A2(有界版本活性属性研究):::process;
    B1(更多矩阵理论实现):::process;
    B2(与其他定理证明器集成):::process;
    A --> A1;
    A --> A2;
    B --> B1;
    B --> B2;

综上所述，并发对象活性可判定性和形式矩阵模型集成的研究为并发系统和矩阵理论的发展提供了重要的理论支持和实践方法。未来的研究将进一步拓展这些领域的边界，为科学计算、算法设计等领域带来更多的创新和突破。