5、两个正弦波之和的听觉感知探究

两个正弦波之和的听觉感知探究

1. 正弦波合成声音基础

正弦波通常被视为声音的基础构建单元，至少对于相对简单的声音而言是如此。通过将多个正弦波相加，可以合成大量不同类型的声音。日常生活中的许多简单警告声音，如微波炉、热水器或电动牙刷发出的声音，就是通过叠加多个正弦波合成的，这种声音合成方式被称为加法合成。

首先，我们探讨两个正弦波相加的情况。两个正弦波相加存在两种数学等价的表示方式：
- 公式：(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{1}{2}(\alpha - \beta)\cos\frac{1}{2}(\alpha + \beta))
- 若两个正弦波振幅均为(a)，频率分别为(f_1)和(f_2)，则有：(a\cos2\pi f_1t + a\cos2\pi f_2t = 2a\cos(\frac{2\pi(f_1 - f_2)}{2}t)\cos(\frac{2\pi(f_1 + f_2)}{2}t))

等式左边是两个正弦波的和，称为频谱表示；右边是两个正弦波的乘积，一个余弦波频率为(\frac{f_1 - f_2}{2})（即两个音调频率差的一半），另一个余弦波频率为(\frac{f_1 + f_2}{2})（即两个频率的平均值），这被称为时间表示。

下面通过具体例子说明：
|频率情况|频谱表示|时间表示|
| ---- | ---- | ---- |
|两个正弦波频率分别为(400Hz)和(600Hz)|两个正弦波相加，结果是一个周期为(5ms)（对应(200Hz)）的周期性信号|一个(500Hz)（平均频率）的载波被一个(100Hz)（频率差的一半）的调制器进行幅