Solving linear equation systems

现代数值计算方法一般都会转化为求解线性方程组. 线性方程组的矩阵形式如下所示:

$$[A][x]=[b]$$

其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$m\ge n$, $x\in R^n$, $b\in R^m$. 由于求解线性方程组在数值分析中基础性核心地位, 线性方程组求解算法和技术一直层出不穷: 直接法,迭代法,并行算法,分块技术,超线程技术…

如果矩阵$A$是$n\times n$阶方阵, 线性方程组的最直接的求解方法是:
$$[x]=[A{]}^{-1}[b]$$

Calculating the inverse of matrix $[A]$ is easy to be implemented, however it requires approximately $n!$ operations. 例如下列4X4矩阵求逆算法[3]:

bool gluInvertMatrix(const double m[16], double invOut[16])
{
   
    double inv[16], det;
    int i;

    inv[0] = m[5]  * m[10] * m[15] - 
             m[5]  * m[11] * m[14] - 
             m[9]  * m[6]  * m[15] + 
             m[9]  * m[7]  * m[14] +
             m[13] * m[6]  * m[11] - 
             m[13] * m[7]  * m[10];

    inv[4] = -m[4]  * m[10] * m[15] + 
              m[4]  * m[11] * m[14] + 
              m[8]  * m[6]  * m[15] - 
              m[8]  * m[7]  * m[14] - 
              m[12] * m[