枚举答案（二分答案）

最新推荐文章于 2025-05-01 21:36:18 发布

cmf2012

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分类专栏：分治算法文章标签： c++

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算法简介：

其实就是先从答案出发，再判断可不可行。当然，如果 $\!$ 『』有单调性的话，还可以二分。

至于这个『』是什么，请听后文分析。

注：本文章主要将思路，以及解题过程，模板题会穿插代码，剩下的只会给思路

题目

0. 臭皮匠

题目描述

$n$ 个臭皮匠坐成⼀排，从左数第 $i$ 个人智商为 $x_i$ 他们将分组挑战诸葛亮。每⼀组只可以安排相就坐的若干个臭皮匠上场挑战，必须保证每组的总智商不低于 $m$ ，求最多派出几组臭皮匠？

解答

注：不用看，我没有打错标题，这题只是一个引入。先把给文章的主题（二分答案）抛却脑后。

首先，看到这种题，想到的就是……

没错，我们伟大的切钢条问题。

状态： $f_i=$ 前 $i$ 个人最多能派出几组

决策：上一组的最后位置 $k$

转移方程： $f_i = \max_{j = 0}^{i - 1}(f_j|\sum_{k = j + 1}^{i} \geq m)$

这个时候，我们发现：

$f$ 本身单调不降 $(f_i\leq f_{i + 1})$
求和符号（约束条件）是单调降

所以，递推式变成了这样得：

$f_i = max (j | \sum_{k = j + 1}^{i} x_k \geq m)$

变成了贪心。

代码自然长这样：

int cnt = 0, sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
    sum += x [i];
    if (sum > = m) {
        sum = 0;
        cnt ++;
    }
}
cout << cnt;

1. 臭皮匠加强版

题目描述

$n$ 个臭皮匠坐成⼀排，从左数第 $i$ 个人智商为 $x_i$ 他们将分组挑战诸葛亮。每⼀组只可以安排相就坐的若干个臭皮匠上场挑战，必须安排 $k$ 组，求诸葛亮得智商最大可以为多少？

解答

思路：转化为已知问题

不知道诸葛亮得智商🤔

简单粗暴：不知道就枚举

于是我们从大到小枚举诸葛亮得智商。

然后，用上一题的贪心法进行判断：诸葛亮的智商是否能派出 $k$ 组

复杂度： $O_{(mn)}$

优化：可行性的单调性

我们知道： $OK_{(m )}$ = 如果诸葛亮智商为 $m$ 是否能派出 $k$ 组。

显然：如果 $OK_{(m )} = true$ ，则 $OK_{(m - 1)} = true$

所以， $OK$ 函数有可行性的单调性，再 $true$ 和 $false$ 之间有一个分割点

即：

所以，我们可以用二分法对 $m$ 进行枚举，称为二分答案。

复杂度： $O_{(n\: log_m)}$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, x [10000];
bool OK (int tmp) { 
	int cnt = 0, sum = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
	    sum += x [i];
	    if (sum > = tmp) {
	        sum = 0;
	        cnt ++;
	    }
	}
	if (cnt >= k) return true;
	else return false;
} 
int main () {
	cin >> n >> k;
	int sum = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
		cin >> x [i];
		sum += x [i];
	}
	sum /= k;
	int left = 0, right = sum;
	while (left < right) {
		int mid = (left + right + 1) / 2;
		if (OK (mid)) left = mid;
		else right = mid - 1;
	}
	cout << left;
}

好了，这道题就这样了。

1.5. 一点点的小结：

首先，我们知道了『』代表了 可行性

其次……

2. 跳石头

题目描述：

⼀条笔直的河道中分布着⼀些岩石。已选好两块岩石作为起点和终点，间距为 $L$ 。起点和终点之间 $n$ 块岩石。选手们将从起点出发，每步跳向相邻的岩石，直至终点。为了提高比赛难度组委会计划移走 $m$ 块岩石，使选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长 $(m\leqslant n\leqslant 5\ast 10^4, L\leqslant 10^9)$

解答：

难点：优化目标是⼀个全局量（最小值的最大值）

$\min_{i = 1}^{n} c_i \geqslant v \Rightarrow c_i \geqslant v (1\leqslant i\leqslant n)$

那这样的优点是什么呢：我们把集体约束拆成了单个的约束

这种题就是套路，只需要枚举这个 $v$ 就可以了，再进行判断。

那么，我们要写的 $OK$ 函数的定义就是：使得相邻间隔全部都 $\geqslant v$ 可不可行。

仔细看一眼👁️，这道题其实就是上一道题……

$OK$ 函数给一下：

bool OK (int v) {
    int cnt = 0, lst = 0;
    for (int i = 0; i <= n + 1; i ++) {
        if (x [i] - x [lst] < v) cnt ++;
        else lst = i;
    }
    return cnt <= m;
}

3. 人工智能开关

题目描述：

$n$ 个灯泡排一直线，开始时有某些灯开着。每次操作能且只能让恰好连续的 $k$ 个灯泡进行一次开关（开着的灯会关掉，关着的灯会打开）。一旦 $k$ 设定好就不能改变。求 $k$ 为多少，可用最少的操作次数使灯全部关闭。如有多个 $k$ 使次数相同，则输出最小的 $k$ 。如无解输出 $-1$ 。 $(n\leqslant 5000)$

输入样例：

1101011

输出样例：

3

解答：

首先，如果我们不知道 $k$ ，根本做不了这道题。

不知道 $k$ 🤔

简单粗暴：不知道就枚举

那么 $OK$ 函数怎么写：

显然，同一段至多操作一次
每次找到最靠左的开着的灯 $i$ ，操作 $i+k- 1$ 次（别无选择）
最后 $k-1$ 盏灯决定了可行性

然后，很多读者开始帅气地写起了二分答案……

BUT, 这题的可行性没有单调性。

所以，这告诉我们，不能盲目地写二分，先判断单调性。

4. 送礼物就要体面

题目描述：

送礼讲究“体面”，所以很多礼品包装都非常漂亮。而你的送礼哲学是“体面”体现在“体积”。从 $n$ 个礼品里你需要挑选 $k$ 个，第 $i$ 件的体积是 $v_i$ ，价格是 $p_i$ 。请问对于选出的 $k$ 件礼品，总体积除以总价格最大是多少？保留两位小数。 $(1\leqslant k\leqslant n\leqslant 10^5)$