bzoj 3513: [MUTC2013]idiots （FFT）

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

clover_hxy

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分类专栏： FFT 文章标签： FFT

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探讨了通过计算合法与不合法三角形方案数来求解随机选取三根木棒构成三角形的概率问题，利用卷积计算不同长度木棒组合的可能性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题目大意：给定n个长度分别为a_i的木棒，问随机选择3个木棒能够拼成三角形的概率。

题解

三角形的两边之和大于第三边。如果我们直接用这个计算实际上是不好计算的，因为上面的条件中两边必须是较小的两条边。
我们考虑他的补集。然后用总方案-不合法方案。所谓不合法方案就是两边之和小于第三边的。对于所有不合法的三角形，只可能有一种搭配不合法。
例如 $a+b<c$ ，那么一定不可能 $b+c<a$ 。
令 $f[i]$ 表示长度为i的方案数。然后做卷积，得到g[i]表示的是两个线段的长度之和为i的方案数。再从中减去自己选两次的方案，再除以2就是g[i]。
令t[i]表示长度大于等于i的边数。
那么不合法的方案就是 $\sum_{i=1}^{mx*2} g[i]*t[i]$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 500003
#define pi acos(-1)
#define LL long long 
using namespace std;
struct data{
   double x,y;
   data(double X=0,double Y=0){
    x=X,y=Y;
   }
}f[N];
data operator +(data a,data b){
   return data(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
data operator -(data a,data b){
   return data(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
data operator *(data a,data b)
{
   return data(a.x*b.x-a.y*b.y,a.y*b.x+a.x*b.y);
}
int n,T,a[N],L,R[N],n1;
LL g[N],t[N];
void FFT(data a[],int n,int opt)
{
   for (int i=0;i<n;i++)
    if (i>R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
   for (int i=1;i<n;i<<=1) {
     data wn=data(cos(pi/i),opt*sin(pi/i));
     for (int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p) {
       data w=data(1,0);
       for (int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
         data x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
         a[j+k]=x+y; a[j+k+i]=x-y;
         }
      }
   }
   if (opt==-1)
    for (int i=0;i<n;i++) f[i].x/=n;
}
int main()
{
   freopen("a.in","r",stdin);
   scanf("%d",&T);
   while (T--){
      scanf("%d",&n); int mx=0; LL sum=n;
      memset(a,0,sizeof(a));
      memset(g,0,sizeof(g));
      memset(f,0,sizeof(f));
      memset(t,0,sizeof(t));
      for (int i=1;i<=n;i++) {
         scanf("%d",&a[i]); mx=max(mx,a[i]);
         g[a[i]*2]--; f[a[i]].x++; t[a[i]]++;
      }
      for (int i=mx;i>=1;i--) t[i]+=t[i+1];
      mx*=2; L=0; sum=sum*(LL)(n-1)*(LL)(n-2)/6;
      for (n1=1;n1<=mx;n1<<=1) L++;
      for (int i=0;i<=n1;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
      FFT(f,n1,1);
      for (int i=0;i<=n1;i++) f[i]=f[i]*f[i];
      FFT(f,n1,-1);
      for (int i=0;i<=n1;i++) g[i]+=(LL)(f[i].x+0.5);
      LL ans=0;
      for (int i=0;i<=n1;i++) ans+=(g[i]/2)*t[i]; 
      ans=sum-ans;
      printf("%.7lf\n",(double)ans*1.0/sum);
   }
}