BZOJ 3513 [MUTC2013]idiots

题目大意

给定 $n$ 个长度分别为 $a_i$ 的木棒，问随机选择 $3$ 根木棒能够拼成三角形的概率。

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，最多100组数据，且满足 $1\leqslant n,a_i\leqslant 10^5$。

题解

拼成三角形的充要条件就是满足三角不等式。

$\quad$三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边。

考虑到能拼成三角形的条件有些苛刻，这里先计算不能拼成三角形的概率，之后用总方案去减。
总方案为：从 $n$ 根木棒中选取 $3$ 根木棒的方案数量为 $C_n^3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3\times2\times1}$

而不能拼成三角形即两边之和小于等于第三边。
设 $t_i$ 为长度为 $i$ 的木棒的数量，$f_i$ 为两根木棒的长度和为 $i$ 的方案数。
直接暴力计算的时候，直接把两种长度和为 $i$ 的木棍数量乘起来就行了。
即 $f_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}t_j\times t_{i-j}$ 。
如果你和我说计算 $f$ 数组是 $O(n^2)$ 的，会超时，那你的FFT白学了。可以发现这就是卷积的形式。

下面考虑重复部分。哪些地方会有重复计算？举个例子。
两根长度为 $1$ 的，三根长度为 $2$ 的，则 $t[1\cdots2]=\{2,3\}$，$f[1\cdots4]=\{0,4,12,9\}$。
我们发现，当 $i$ 为偶数时，组成 $f_i$ 的一部分为 $t_i^2$。这里面算上了选同一根木棒两次的情况，因此要减去 $t_i$。
修正后 $f[1\cdots4]=\{0,2,12,6\}$。
又发现，选择木棒 $a$ 和木棒 $b$ 与选择木棒 $b$ 和木棒 $a$ 是等价的，因此需要除以 $2$。
修正后 $f[1\cdots4]=\{0,1,6,3\}$。

下面考虑计算出 $f$ 数组后如何统计答案。
加入第三根木棒，当第三根木棒长度为 $k$ 时，所有长度和小于等于 $k$ 的另外两根木棒组合在一起都是非法的。即所有$f_i(1\leqslant i\leqslant k)$ 都不能组成三角形。对不能组成三角形的答案的贡献为 $t_k\times \sum\limits_{i=1}^kf_i$，其中 $\sum\limits_{i=1}^kf_i$ 可以递推 $O(n)$ 计算。

最后用总数减去非法数的差除以总数即得合法概率。

代码

$f$ 数组记得开 $long\ long$，总数记得开 $long\ long$，非法数记得开 $long\ long$。
重要的事情说三遍。
没开 $long\ long$ 卡了我 $3h$。平均一个小时找出一个地方没开 $long\ long$ 我能怎么办。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=300010;
const double pi=acos(-1.0);
struct comp{
    double x,y;
    comp(double xx=0,double yy=0):x(xx),y(yy) {}
    friend comp operator+(const comp &x,const comp &y) {return comp(x.x+y.x,x.y+y.y);}
    friend comp operator-(const comp &x,const comp &y) {return comp(x.x-y.x,x.y-y.y);}
    friend comp operator*(const comp &a,const comp &b) {return comp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+b.x*a.y);}
}a[maxn];
int limit=1,r[maxn];
void fft(comp *t,int ty=1){
    for(int i=0;i<limit;i++)
        if(i<r[i])
            swap(t[i],t[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        comp wn(cos(pi/mid),ty*sin(pi/mid));
        for(int j=0,R=(mid<<1);j<limit;j+=R){
            comp w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
                comp x=t[j+k],y=w*t[j+k+mid];
                t[j+k]=x+y;
                t[j+k+mid]=x-y;
            }
        }
    }
}
#define ifft(a) fft(a,-1)
int t[maxn],T,n,mx;
long long f[maxn];//1. 记得开long long
int main(void){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(a,0,sizeof a);
        memset(r,0,sizeof r);
        memset(t,0,sizeof t);
        limit=1;mx=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1,x;i<=n;i++){
            scanf("%d",&x);
            mx=max(mx,x);
            ++t[x];
        }
        for(int i=1;i<=mx;i++)//减少精度误差
            a[i]=comp(t[i],0);
        int ln=mx<<1,l=0;//最长长度小于最长的木棒的两倍 
        while(limit<=ln)
            limit<<=1,++l;
        for(int i=1;i<limit;i++)
            r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
        fft(a);
        for(int i=0;i<limit;i++)
            a[i]=a[i]*a[i];
        ifft(a);
        //2. 记得开long long
        long long tot=(long long)n*(n-1)*(n-2)/6,ans=0,sum=0;
        for(int i=1;i<=mx;i++){
            f[i]=floor(a[i].x/limit+0.5);//减少精度误差
            if(i%2==0)//去掉重复部分
                f[i]-=t[i>>1];
            f[i]>>=1;
        }
        for(int i=1;i<=mx;i++)
            f[i]+=f[i-1];//前缀和
        for(int i=1;i<=mx;i++)
            ans+=(long long)t[i]*f[i];//3. 记得开long long
        printf("%.7lf\n",1-(double)ans/tot);
    }
    return 0;
}