校内互测 C. 向量 （乱搞+随机+数论）

C. 向量

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题目描述
一个d 维向量是一个d 元组，或者你也可以把它看成一个数组。比如(2,3,3)就是一个三维向量。特别的，一维向量也是一个一元组，但它并不是一个数。向量的加法就是将向量的每一维对应相加，比如 A=(2,3,3)，B=(6,6,6)，那么A+B=(8,9,9)。向量的点/内积就是将向量的每一维对应相乘之后再求和，即

，在上面的例子中就有A·B=156。给出n 个d维向量， 请寻找两个向量使得它们的点积是k的倍数。
输入格式
第一行三个正整数n，d，k。
接下来n 行，每行d 个非负整数描述向量xi。
输出格式
如果有解，输出一行两个正整数p，q（p<q)，k|xp·xq；否则输出两个-1,。中间有空格隔开。
输入样例
3 5 2
1 0 1 0 1

1 1 0 1 0
0 1 0 1 1
输出样例
2 3

数据范围

题解：乱搞+随机。

我们如果枚举向量对肯定会TLE。所以我们考虑利用向量的分配律。

当k=2的时候，具体的，我们枚举向量xi,判断xi*(sigma(j=1..i-1)xj)%k是否等于(i-1)%k，如果不相等，说明x1...xj-1之间存在向量与xi的点积为0 （在模2意义下）。为什么呢，向量是满足分配率的，所以上式的结果相当于是将xi于他之前的向量分别相乘再加和，如果不存在点积为0的，那么答案一定是(i-1)%2。但是这样还有可能不对，因为当存在两个或偶数个点积为0，xi*(sigma(j=1..i-1)xj)%k==(i-1)%k，但是实际上是存在答案的。

但是这样的概率非常小，每次都有1/2的概率，(1/2)^n已经接近0了，我们再random_shuffle3到4次，计算一下，应该就可以解决了。

当k=3的时候，取模后不等于0的情况就有1,2两种，这要怎么办呢？我们考虑给向量平方，因为1,2平方%3都等于1.

我们还是要利用前缀和和向量的分配律。

我们现在要求sigma(j=1..i-1) (xi*xj)^2  先看(xi*xj)^2这一部分，

向量的点/内积就是将向量的每一维对应相乘之后再求和，而点积的平方就是将d维向量变成一个d^2维的向量矩阵，然后让矩阵中的每个位置对应相乘再相加。

（a1*b1+a2*b2)^2=a1^2*b1^2+2*a1*a2*b1*b2+a2^2*b2^2

=  { a1^2 ,a1*a2   *   {b1^2, b1*b2

     a1*a2,a2^2 }       b1*b2,b2^2  }

有这个性质之后，我们发现sigma(j=1..i-1) (xi*xj)^2 就相当于1..i-1个矩阵分别与xi形成的矩阵相乘，因为是对应位置相乘再相加，所以满足分配律，将x1..xi-1个向量形成的矩阵对应位置相加得到一个新矩阵，再与xi形成的矩阵相乘得到答案，看答案是否=(i-1)%3，如果不等于就可以扫一遍x1..xi-1统计答案即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define N 100003
using namespace std;
int n,m,k;
int a[103][103],b[103],now[103][103];
int c[N],num[N][103];
void add(int x,int ans[])
{
	for (int i=1;i<=m;i++)
	 ans[i]=(ans[i]+num[x][i])%k;
}
void add1()
{
	for (int i=1;i<=m;i++)
	 for (int j=1;j<=m;j++)
	  a[i][j]=(a[i][j]+now[i][j])%k;
}
void change(int x)
{
	for (int i=1;i<=m;i++)
	 for(int j=1;j<=m;j++)
	  now[i][j]=num[x][i]*num[x][j]%k;
}
void pd(int x)
{
	for (int i=1;i<x;i++)
	{
		int tot=0;
		for (int j=1;j<=m;j++) tot=(tot+num[c[x]][j]*num[c[i]][j])%k;
		if (tot%k==0)
		 {
		 	int t=c[x]; int t1=c[i];
		 	if (t>t1) swap(t,t1);
		 	printf("%d %d\n",t,t1);
		 	exit(0);
		 }
	}
}
int main()
{
	freopen("vector.in","r",stdin);
	freopen("vector.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&num[i][j]);
    if (n<=1000)
    {
    	for (int i=1;i<=n-1;i++)
    	 for (int j=i+1;j<=n;j++)
    	  {
    	  	 int tot=0;
    	  	 for (int t=1;t<=m;t++)
    	  	  tot=(tot+num[i][t]%k*num[j][t]%k)%k;
    	  	 if (tot%k==0) {
    	  	 	printf("%d %d\n",i,j);
    	  	 	return 0;
			   }
		  }
		printf("-1 -1\n");
		return 0;
	}
	if (k==2)
	{
		for (int t=1;t<=4;t++)
		{
			for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=i;
			random_shuffle(c+1,c+n+1);
			memset(b,0,sizeof(b));
			add(c[1],b);
			for (int i=2;i<=n;i++)
			{
				int tot=0;
				for (int j=1;j<=m;j++)
				 tot=(tot+num[c[i]][j]*b[j])%k;
				if (tot!=(i-1)%k) pd(i);
				add(c[i],b);
			}
		}
		printf("-1 -1\n");
		return 0;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=i;
//	random_shuffle(c+1,c+n+1);
	change(c[1]); add1();
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		int tot=0;
		change(c[i]);
		for (int j=1;j<=m;j++)
		 for (int k1=1;k1<=m;k1++)
		  tot=(tot+now[j][k1]*a[j][k1])%k;
		if (tot!=(i-1)%k)  pd(i);
		add1();
	}
	printf("-1 -1\n");
	return 0;
}