45、随机预言机方案实践与数论基础

随机预言机方案实践与数论基础

1. 随机预言机方案概述

随机预言机方法论在实际的加密方案和标准中有着广泛应用。它能与合适的数论原语（如基于离散对数的单向函数或RSA陷门函数）结合，设计出高效的解决方案。

常见的基于随机预言机的加密方案包括：
- Fiat–Shamir签名方案 ：是构建快速签名方案的通用方法，也是随机预言机方法论的起源。其离散对数版本即Schnorr签名方案，见于ISO 14888 - 3标准和IETF的EdDSA标准RFC 8032，EdDSA还是TLS 1.3协议中支持的签名算法之一。
- 最优非对称加密填充（OAEP） ：基于RSA等陷门置换实现IND - CCA安全加密，扩展因子小，在IETF的RFC 8017标准中有描述。
- 概率签名方案（PSS） ：同样基于RSA陷门函数，也是TLS 1.3支持的签名方案。
- Fujisaki–Okamato混合加密变换 ：可将公钥加密方案的安全性从IND - CPA提升到IND - CCA。

2. 数论假设

在密码学中有两个著名问题：离散对数问题和RSA问题，它们分别是单向函数和陷门置换的候选者。虽然目前无法证明它们在密码学上是困难的，但经过几十年的攻击仍未被破解，因此被认为是困难的。

2.1 数论背景

• 群的定义 ：
  • 群$G$是具有运算$\star: G \times G \