快速幂算法及其拓展

摘要

本文讲解了快速幂算法的定义、复杂度证明及两种实现（递归与非递归），以及它的两个重要拓展：快速幂模M算法和矩阵快速幂。其中矩阵快速幂算法是矩阵求幂问题对整数求幂问题的借鉴，实际应用中对于线性递推式求解能起到强大的效率优化。

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快速幂算法

问题引入：求$a^n (a,n\in N^+)$
朴素算法：令ans初始值为1，乘n次a得到$a^n$
朴素算法时间复杂度：O(n)

问题：如果n非常大，比如高达$10^{15}$，怎么办？
思考：朴素算法哪里可以优化？

朴素算法的特点是，连乘过程中底数始终为$a$，这很不聪明。考虑下例：
$a=2, n=15$
我们没有必要乘15次2，注意到$15=2^3+2^2+2^1+2^0$，不妨将$2^{15}$拆分为 223×222×221×2