【代码模板】完全背包

目录

1. 题目描述

2. 算法构思：

1. 定义：

2. 算法：dp

3. 优化step1：减少循环层数

4. 优化step2：采用一维数组

3. 完整代码：

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1. 题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

2. 算法构思：

1. 定义：

v[i] ：第i个物品的体积

w[i]：第i个物品的价值

f[i][j] ：前i个物品放入体积为j的物品后，最大价值

2. 算法：dp

对于第i个物品，我们有一下几种选择

此过程与01背包类似，只需要再枚举第i个的个数即可，大家可以去看一下，再看这个会比较容易理解一点

（这里附上我写的01：【代码模板】01背包-优快云博客    打广告  ）

言归正传，此时，一个伟大的朴素版三重循环二维数组代码就诞生了！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1005],w[1005];
int f[1005][1005];
int main()
{
	int N,V;
	cin>>N>>V;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			for(int a=1;a<=j/v[i];a++)//循环第i个物品的个数
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a*v[i]]+a*w[i]);	
			}
		}
	}
	cout<<f[N][V];
	return 0;
} 

3. 优化step1：减少循环层数

核心代码：

for(int i=1;i<=N;i++)
{
	for(int j=1;j<=V;j++)
	{
		f[i][j]=f[i-1][j];
		if(j-v[i]>=0)
    	{
			f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);	
		}
	}
}

证明过程：

我们发现

下面的与上面的一部分相对应（连起来的部分），只不过上面在下面对应部分的基础上多加了一个w[i]，剩下一块没有对应的部分为f[i-1][j],所以我们只用比较这两部分的大小即可。

即 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]) 这里f[i][j]在之前已经赋值成f[i-1][j]了

4. 优化step2：采用一维数组

思路跟01背包的差不多，我们在优化1的基础上改

核心代码：

for(int i=1;i<=N;i++)
{
	for(int j=v[i];j<=V;j++)
	{
		f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);	
	}
}

同样的 j 的正搜反搜的问题：

发现 f[] 用的是这一轮的数，不受前面的影响，且如果j不从头开始，前面的数为0，不对，所以正着来

3. 完整代码：

朴素版（三重循环二维数组）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1005],w[1005];
int f[1005][1005];
int main()
{
	int N,V;
	cin>>N>>V;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			for(int a=1;a<=j/v[i];a++)
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a*v[i]]+a*w[i]);	
			}
		}
	}
	cout<<f[N][V];
	return 0;
} 

优化版（二重循环二维数组）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1005],w[1005];
int f[1005][1005];
int main()
{
	int N,V;
	cin>>N>>V;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j-v[i]>=0)
			{
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);	
			}
		}
	}
	cout<<f[N][V];
	return 0;
} 

优化plus++版（一重循环一维数组）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long int v[1000005],w[1000005];
long long int f[1000005];
int main()
{
	int N,V;
	cin>>V>>N;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=v[i];j<=V;j++)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);	
		}
	}
	cout<<f[V];
	return 0;
}