【线性dp】子串

1. 题目描述：

P2679 [NOIP2015 提高组] 子串 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

2. 思路：

1. 70分

核心代码： （有注释）

for(int i=1;i<=n;i++)//A串
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)//b串
		{
			for(int k=0;k<=K;k++)//题目中出现的K（子串个数）
			{
				int sum=0;
				for(int h=1;h<=j;h++)//h-相同的字符个数
				{
					if(i-h<0) continue;//如果相同字符个数比A中字符个数还多，直接进行下一层
					else
					{
						if(a.substr(i-h+1,h)==b.substr(j-h+1,h) )
						{
							sum=(sum+f[i-h][j-h][k-1])%1000000007;
						}
					}
				}
				f[i][j][k]=(f[i-1][j][k]+sum)%1000000007;//A中位置向前进一位			
			}
		}
	}

这里重点解释一下这里：

a.substr(i-h+1,h)==b.substr(j-h+1,h)

substr是string类型的一个函数，表示字符串从第0位开始到某一位，具体学习内容见链接：

课堂笔记 string 使用-优快云博客

但是，根据数据大小，我们发现时间复杂度超了，只能得70分

所以为了解决这个问题，有了以下思考：

2. 优化

（1）时间优化

           

如上图，我们总结出了这个公式  sum[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-1]+sum[i-1][j-1][k]

但这里要定义两个数组：sum 和 f 

空间上超了！！

于是我们又有了一下思考（梅开二度）

（2）空间优化

我们发现，每次更新sum时，每次 f， sum 都与上一轮有关（也就是 j-1）

依据背包01时我们所学的数组空间优化，我们采取相似做法，循环时倒着循环

背包链接我扔这了：【代码模板】01背包-优快云博客

核心代码：

    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=0;k<=K;k++)
			{
				if(a[i]==b[j]) sum[j][k]=(f[j-1][k-1]+sum[j-1][k])%1000000007;
				else sum[j][k]=0;
				f[j][k]=(f[j][k]+sum[j][k])%1000000007;
			}
		}
	}

3. 完整代码：

（70分算法）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a,b;
int f[1005][205][205];
int K,n,m;
int main()
{
	cin>>n>>m>>K;
	cin>>a>>b;
	a=" "+a;
	b=" "+b;
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k<=K;k++)
			{
				int sum=0;
				for(int h=1;h<=j;h++)
				{
					if(i-h<0) continue;
					else
					{
						if(a.substr(i-h+1,h)==b.substr(j-h+1,h) )
						{
							sum=(sum+f[i-h][j-h][k-1])%1000000007;
						}
					}
				}
				f[i][j][k]=(f[i-1][j][k]+sum)%1000000007;			
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m][K]%1000000007;
	return 0;
}

满昏算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a,b;
int f[205][205];
int sum[205][205]; 
int K,n,m;
int main()
{
	cin>>n>>m>>K;
	cin>>a>>b;
	a=" "+a;
	b=" "+b;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=0;k<=K;k++)
			{
				if(a[i]==b[j]) sum[j][k]=(f[j-1][k-1]+sum[j-1][k])%1000000007;
				else sum[j][k]=0;
				f[j][k]=(f[j][k]+sum[j][k])%1000000007;
			}
		}
	}
	cout<<f[m][K]%1000000007;
	return 0;
}