动态规划算法专题（九）：完全背包问题

目录

1. 【模板】完全背包

1.1 算法原理 

1.2 算法代码

1.3 空间优化

1.4 空间优化版本代码 

2. 零钱兑换

2.1 算法原理 

2.2 算法代码

3. 零钱兑换 II

3.1 算法原理 

3.2 算法代码

4. 完全平方数

4.1 算法原理 

4.2 算法代码

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完全背包问题的初始化与 01 背包的初始时相同:

第一行需要初始化, 

第一列不需额外初始化, 在填表时一同填入即可(存在条件判定, 不会发生越界) 

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1. 【模板】完全背包

【模板】完全背包_牛客题霸_牛客网

1.1 算法原理 

• 状态表示:

dp[i][j] : 从前 i 个数中选, 总体积不超过 j , 所有选法中, 最大价值(第一问)
dp[i][j] : 从前 i 个数中选, 总体积等于 j , 所有选法中, 最大价值(第二问)

• 状态转移方程:

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i])

• 初始化

如下图.

• 建表顺序:

从上往下每一行,
从左往右每一列 

• 返回值

1) dp[n][V]

2) dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]

1.2 算法代码

import java.util.Scanner;

// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt(); // 物品个数
        int large = in.nextInt(); // 背包体积
        int[] V = new int[n];
        int[] W = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            V[i] = in.nextInt();
            W[i] = in.nextInt();
        }
        // 第一问
        int[][] dp = new int[n + 1][large + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j <= large; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if(j >= V[i - 1]) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - V[i - 1]] + W[i - 1]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n][large]);
        // 第二问
        // 初始化
        for(int j = 1; j <= large; j++) dp[0][j] = -1;
        // 填表
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j <= large; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if(j >= V[i - 1] && dp[i][j - V[i - 1]] != -1) 
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - V[i - 1]] + W[i - 1]);
            }