力扣刷题笔记 1025. 除数博弈 C#

今日签到题，题目如下：

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

 

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。
 

提示：

1 <= N <= 1000

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game
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遇题不解，动态规划。

两个人都是最佳状态，也就是两个人都会寻求最优解保证自己胜利，每个数字的结果都是固定的，所以动态规划可行。

建立长度为 N + 1 的 bool 型数组 dp，dp[i] 表示 N = i 时，爱丽丝是否胜利，也就是表示此时先手的人是否获胜。

如果需要在 N = i 时，令爱丽丝胜利，那么爱丽丝需要能够操作一个数字 j，数字 j 首先需要满足题意，另外还需要满足 N = i - j 时自己也能获胜。此时是鲍勃出手，对应 dp[i - j] 表达的是鲍勃是否胜利，所以 dp[i] 转移自 !dp[i-j]。

数字因为 j < i，且 i % j == 0，即 j 为 i 的因子。小于 j 的因子最大只能是 j / 2，所以在 1 到 i / 2 的闭区间内查询是否存在满足两个条件的 j。

边界条件，dp[0] 没有转移而来的状态，N = 0时爱丽丝无法操作，故无法获胜，dp[0] = false。

复杂度分析：

嵌套两次遍历，时间复杂度为 O(N * N)。

使用一个长度为 N + 1 的数组记录，空间复杂度为 O(N)。

以下为自己提交的代码：

public class Solution {
    public bool DivisorGame(int N) {
        bool[] dp = new bool[N + 1];
        dp[0] = false;
        for (int i = 0; i < N + 1; i++)
        {
            for (int j = i / 2;j > 0;j--)
            {
                if (i % j == 0 && !dp[i - j])
                {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[N];
    }
}

提交之后看了看官方题解，除了以上的方法，题解还直接用数学方法证明了 N 为偶数时爱丽丝必胜，N 为奇数时鲍勃必胜，直接返回了 N %2 == 0。证明过程这里不做讨论