29、曲线结构拟合与鲁棒性处理

曲线结构拟合与鲁棒性处理

1. 直线拟合的 K-means 方法

在处理数据点和直线的拟合问题时，我们的目标是最小化所有直线与数据点之间的距离平方和。然而，由于可能的对应关系数量过多，无法直接搜索整个空间。

K-means 方法可以很容易地修改以处理这个问题，它主要包含两个阶段：
- 分配阶段 ：将每个点分配给最近的直线。
- 拟合阶段 ：为分配给每条直线的点拟合出最佳直线。

K-means 直线拟合算法如下：

Hypothesize k lines (perhaps uniformly at random)
or
Hypothesize an assignment of lines to points
and then fit lines using this assignment
Until convergence
    Allocate each point to the closest line
    Refit lines
end

判断收敛的方法有多种，比如观察直线的变化大小、标签是否翻转（可能是最好的测试方法），或者点到其所属直线的垂直距离之和。

2. 曲线结构拟合

二维曲线与二维直线有所不同。对于平面上的每个点，直线上有唯一的最近点，但曲线并非如此。由于曲线是弯曲的，曲线上可能有多个点在局部看起来都像是离该点最近的（如图 10.4 所示），这使得找到点与曲线之间的最小距离变得非常困难。在三维空间中，曲