13、图的稀疏生成器与数据聚类的固定参数算法

图的稀疏生成器与数据聚类的固定参数算法

在图论和数据聚类领域，稀疏生成器和固定参数算法是两个重要的研究方向。稀疏生成器用于在保持图的某些距离性质的同时，减少图的边数；而固定参数算法则是针对NP完全问题，通过将问题的复杂度限制在一个较小的参数上，来实现高效求解。

弦图的加性3 - 生成器

弦图是一类重要的图，其每个长度大于3的环都有一条弦。对于弦图，我们可以构造加性3 - 生成器。
- 引理与定理
- 引理8 ：设$G$是任意图，$T(G)$是以$u$为根的$G$的BFS树。若$v$是$G$的顶点，$w$（$w \neq v$）是$T(G)$中$v$在第$N_i(u)$层的祖先，对于任意顶点$x \in N_i(u)$，若$d_G(v, w) = d_G(v, x)$，则有$x \leq w$。
- 引理9 ：$H^ $是$G$的加性3 - 生成器。
- 引理10 ：若弦图$G$有$n$个顶点和$m$条边，则其加性3 - 生成器$H^ $可以在$O(m \cdot \log n)$时间内构造。
- 定理3 ：每个有$n$个顶点和$m$条边的弦图$G = (V, E)$都存在一个边数至多为$O(n \cdot \log n)$的加性3 - 生成器，且这样的稀疏生成器可以在$O(m \cdot \log n)$时间内构造。
- 与乘法3 - 生成器的比较 ：之前的研究表明，任何弦图都存在一个边数至多为$