10、在线流合并、最大跨度与最小覆盖及随机正则图弱连通支配集算法

在线流合并、最大跨度与最小覆盖及随机正则图弱连通支配集算法

1. (c, s) 有界调度的竞争力分析

在流调度问题中，我们关注具有最小覆盖因子至少为 c 且最大跨度因子至多为 s 的调度，将其称为 (c, s) 有界调度。下面我们将从多个方面对其进行分析。

1.1 调度的几何表示

对于一个调度 S，其几何表示由平面上的一组折线组成。假设一个流 X 在时间 t0 启动，正常状态运行 τn 时间，异常状态运行 τe 时间。则在平面上为 X 绘制一个折线 C(X)：从点 (t0, t0) 开始，绘制一条长度为 τn / (1 + λ) 的向右水平线段，接着绘制一条长度为 τe / λ 的向下垂直线段。

相关引理如下：
- 引理 2 ：若 C(X) 经过点 (x, y)，则流 X 在时间 t = (1 + λ)x - λy 仍在运行，且此时 X 的客户端总共接收了 ℓ = (x - y)(1 + λ) 单位的数据。
- 合并条件 ：若流 X 在时间 t 与流 Y 合并，则 C(X) 必须在 C(Y) 上的某点 (x, y) 处终止，其中 t = (1 + λ)x - λy。
- 时间线定义 ：对于任意时间 t > 0，时间线 Lt 定义为直线 y = ((1 + λ) / λ)x - t / λ。任何与 Lt 相交的折线在时间 t 仍在运行，调度 S 在时间 t 的负载 load(S, t) 等于与 Lt 相交的折线集合 S ∩ Lt 的大小。

在分析 |S ∩ Lt| 之前，有如下定义：