86、小伸展成对跨度器与线性核及单指数算法

小伸展成对跨度器与线性核及单指数算法

小伸展成对跨度器相关算法

在图计算领域，跨度器（Spanner）是一个重要的概念，它可以在保持图的某些距离性质的同时，减少图的边数，从而达到节省空间和提高计算效率的目的。下面将介绍几种不同类型的跨度器及其计算算法。

1. (1, 4) 全对跨度器

存在引理表明子图 $H’$ 的大小是有界的，并且它是一个 (1, 4) 全对跨度器。
- 引理 5 ：$H’$ 的大小为 $O(n^{1.4} \log^{0.2} n)$。对于任意的顶点对 $(u, v) \in V \times V$，有 $\delta_{H’}(u, v) \leq \delta_{G}(u, v) + 4$。

2. (1, 2) 成对跨度器

对于给定的子集 $P \subseteq V \times V$，计算图 $G = (V, E)$ 中的稀疏 (1, 2) P - 跨度器的算法步骤如下：
1. 聚类 ：调用参数为 $h = \lceil(|P| \ln n)^{1/3}\rceil$ 的聚类过程，计算聚类 $C$ 和子图 $G_C$，并将 $H$ 初始化为 $G_C$。
2. 路径购买 ：对于每个 $(u, v) \in P$，如果最短的 $u - v$ 路径 $\rho$ 的成本 $\text{cost}(\rho) < n \cdot (\ln n)^{1/3} / |P|^{2/3}$，则将 $\rho$ 添加到 $H$ 中。
3. 添加