20、哈希到素数的零知识谓词

哈希到素数的零知识谓词

在密码学领域，零知识证明是一种强大的工具，它允许一方（证明者）向另一方（验证者）证明某个陈述是真实的，而无需透露除了该陈述为真之外的任何额外信息。本文将深入探讨几种与素数相关的零知识谓词及其证明协议。

1. 确定性米勒素性测试

在强可能素数测试中，存在两种情况：要么 $d_j = 1$，这意味着 $a_j^u \equiv 1 \pmod{n}$；要么 $d_j’ = -1$，即 $a_j^{2^{k_j}u} \equiv -1 \pmod{n}$。

有如下定理：
定理 8 ：假设在群 $G$ 中离散对数问题是困难的，并且满足 $spsp((a_j) {j = 1}^t, n^ )$ 的最小 $n^ $ 大于 $2^{\dot{\ell}_n}$，那么协议 $[\mu \in primes_M(\dot{\ell}_n, (a_j) {j = 1}^t)]$ 是一个零知识论证，表明承诺的整数 $\mu$ 是素数。其稳健性错误概率为 $2^{-k}$。

证明过程基于底层谓词的零知识属性。通过标准技术，知识提取器可以提取协议中秘密的整数。由于假设在 $G$ 中离散对数问题困难且 $\log_g h$ 未知，以生成元 $g$ 编码的方程在指数上（模 $Q$）成立。知识提取器得到整数 $\hat{n}$ 以及整数 $\hat{u}$ 和 $\hat{e}$，并建立关系 $\hat{n} - 1 = 2^{\hat{e}}\hat{u}$，且 $\hat{u}$ 为奇数，同时获得基 $(\hat{a} j) {j = 1}^t$。根