16、关于 Vir 代数表示的深入探讨

关于 Vir 代数表示的深入探讨

1. 引言

在数学的代数领域中，对 Vir 代数表示的研究具有重要意义。本文将围绕 Vir 代数在特定条件下的表示展开详细讨论，涉及到反称 Fock 希尔伯特空间、算子的定义与性质、各种代数的表示以及相关定理的证明等内容。

2. 相关概念与定义

2.1 反称 Fock 希尔伯特空间

设 $\mathcal{F}^{\wedge}(\mathcal{H})$ 表示反称 Fock 希尔伯特空间，其中 ${e_i : i \in \mathbb{Z}}$ 是单粒子希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的一组正交归一基，$i \in -\mathbb{N}$ 描述费米子反粒子。

2.2 算子的定义

定义算子 $E_{i,j}$，$i,j \in \mathbb{Z}$，在 $\mathcal{F}^{\wedge}(\mathcal{H})$ 上的定义如下：
- 当 $i,j \geq 0$ 时，$E_{i,j} = a^ (e_i)a(e_j)$；
- 当 $i \geq 0 > j$ 时，$E_{i,j} = a^ (e_i)a^ (e_j)$；
- 当 $j \geq 0 > i$ 时，$E_{i,j} = a(e_i)a(e_j)$；
- 当 $0 > i,j$ 时，$E_{i,j} = a(e_i)a^ (e_j) - \delta_{i - j} - a^*(e_j)a(e_i)$。

这里 $a^*(e_k)$ 和 $a(e_k)$ 分别表示 Fo