bzoj 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数学思维】

圆上整数点计数

最新推荐文章于 2019-09-04 21:05:33 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于计算给定半径的圆周上整数坐标的点的数量。通过数学化简和枚举因子的方法，实现了一个时间复杂度为O(sqrt(2*r))^2的算法。

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题目链接：bzoj 1041: [HAOI2008]圆上的整点

题意：给定一个圆 $x^2+y^2=r^2)$ ，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

思路：先化简
$x^2 = r^2-y^2 = (r-y) * (r+y)$ 我们用 $d * A = (r - y)$ ， $d * B = (r + y)$ 其中 $d = g c d (r - y, r + y)$ ，限制 $y > 0$ 。
这样有 $x^2 =d^2*A*B$ 以及 $d * A + d * B = 2 * r$ 。 $r$ 是已经知道的，我们就可以通过枚举因子d来构造 $A + B$ 的值 $m$ 。根据 $x^2 = d^2*A*B$ 且 $A, B 互质$ 那么 $A, B$ 一定是完全平方数。这样得到 $a^2+b^2 = m$ ，再用一次枚举就可以了。

时间复杂度 $O(sqrt(2*r)^2)$

$A C$ 代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#define PI acos(-1.0)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define fi first
#define se second
#define ll o<<1
#define rr o<<1|1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;
const int MAXN = 2*1e6 + 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
void getmax(int &a, int b) {a = max(a, b); }
void getmin(int &a, int b) {a = min(a, b); }
void add(LL &x, LL y) { x += y; x %= MOD; }
LL gcd(LL a, LL b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
bool judge(LL a, LL b, LL d, LL r) {
    LL y = r - d * a * a;
    return y > 0 && d * b * b == r + y && gcd(a, b) == 1;
}
int main()
{
    LL r; scanf("%lld", &r);
//    LL s = 0;
//    for(int x = -r; x <= r; x++) {
//        for(int y = -r; y <= r; y++) {
//            if(x * x + y * y == r * r)
//                s++;
//        }
//    }
//    printf("%lld\n", s);
    if(r == 0) {
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    LL ans = 0;
    for(LL i = 1; i <= sqrt(2*r); i++)
    {
        if((2*r) % i == 0) {
            LL m = 2 * r / i;
            for(LL a = 1; a <= sqrt(m); a++) {
                LL B = m - a * a; LL b = sqrt(B);
                if(b * b == B) {
                    if(judge(a, b, i, r)) {
                        ans++;
                        //cout << a << " " << b << " " << i << endl;
                    }
                }
            }
            m = i;
            for(LL a = 1; a <= sqrt(m); a++) {
                LL B = m - a * a; LL b = sqrt(B);
                if(b * b == B) {
                    if(judge(a, b, 2 * r / i, r)) {
                        ans++;
                        //cout << a << " " << b << " " << 2 * r / i << endl;
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans * 4 + 4);
    return 0;
}

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