bzoj 1041: [HAOI2008]圆上的整点

最新推荐文章于 2021-12-25 11:05:27 发布

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本文介绍了解决HAOI2008竞赛中圆上整点计数问题的方法。通过数学推导，利用圆的方程和约数特性，设计了一种高效算法，在大输入范围内快速找出圆周上所有整数坐标的点。

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

　　求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

　　只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

　　整点个数

Sample Input

Sample Output

因为n特别大，所以枚举肯定超时

那怎么办呢？

圆的方程式：X²+Y² = R²

那么可得Y² = R²-X² = (R+X)*(R-X)

令d = Gcd(R+X, R-X)

那么有Y² = d²*(R+X)/d*(R-X)/d

再设A = (R+X)/d，B = (R-X)/d

那么有Y² = d²*A*B，所以要想Y是整数，A*B一定要是一个完全平方数

又因为Gcd(A, B)==1，所以A和B一定都是完全平方数

到这就好办了

↓

设A = a²， B = b²

那么有a² = (R+X)/d，b² = (R-X)/d

a²+b² = 2*R/d

这说明d一定是2*R的一个约数，只要枚举2*R的约数d，

对于2*R%d==0，再枚举对应的a和b是多少，之后判断一波A和B是否互质即可，只要互质ans++

枚举约数都是更号的复杂度，所以不用担心超时

因为4个象限+4个坐标轴上的点

所以最后答案×4再+4

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define LL long long
LL Gcd(LL a, LL b)
{
	if(a%b==0)
		return b;
	return Gcd(b, a%b);
}
int main(void)
{
	LL R, d, i, j, ans;
	while(scanf("%lld", &R)!=EOF)
	{
		ans = 0;
		for(d=1;d*d<=2*R;d++)
		{
			if((2*R)%d==0)
			{
				for(i=1;i*i<=R/d;i++)
				{
					j = sqrt(2.0*R/d-i*i);
					if(i*i+j*j==2*R/d && Gcd(i*i, j*j)==1 && i!=j)
						ans++;
				}
				if(d*d==2*R)
					continue;
				for(i=1;i*i<=d/2;i++)
				{
					j = sqrt(1.0*d-i*i);
					if(i*i+j*j==d && Gcd(i*i, j*j)==1 && i!=j)
						ans++;
				}
			}
		}
		printf("%lld\n", ans*4+4);
	}
	return 0;
}