Wannafly挑战赛1 C-MMSet2（树的直径）

最新推荐文章于 2021-01-15 16:18:41 发布

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本文详细解析了在树形结构中求解点集直径的算法，通过预处理倍增数组和点到根节点距离，利用两次深度优先搜索（DFS）找到树的直径，并通过点集的特性得出直径/2上取整的最优解。适用于多次询问，每个点到给定点集的最大值的最小值问题。

题目链接：C-MMSet2

题意：多次询问，每个点到给定点集的最大值的最小值。
设点集为 $s$ , $f(u)=max_{v\in s}(dis(u,v))$ ，求 $min_{1<=u<=n}f(u)$

考虑点集只有1个点，那该点到该点的距离为0，就是要求的答案。
考虑点集只有两个点x,y，那这两个点的路径上的点到这两点的最大值是不是一定大于等于 $\lceil dis(x,y)/2 \rceil$ 。
扩展到多个点，符合答案要求的点的一端一定是点集其中的点，另一端一定是点集任两点路径上的点吧。

结论：点集的直径/2的上取整即为答案。

随便选一个点作为根，预处理倍增数组，以及各点到根节点的距离。
注意到所有的询问点集加起来为 $10^6$ ，说明 $n*log_2(n)$ 的复杂度可行，对于边长度相同的树的直径，通常可用两次dfs求得，也即第一次从根节点出发找一个最远点，再从最远点出发找一个最远点。各节点与根节点的距离已经预处理出来了，那么遍历点集即可知道最远点x，然后再遍历一次点集，求 $m a x (d i s [x] + d i s [y] - 2 * d i s [l c a])$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=3e5+7;

bool vis[maxn];

struct Edge{
    int v,next;
}edge[maxn<<1];

int head[maxn],top;

void add(int u,int v){
    edge[top].v=v;
    edge[top].next=head[u];
    head[u]=top++;
}

vector<int> vv;
int dis[maxn];
int dep[maxn];
int fa[maxn][20];
const int ci=19;
void dfs(int u,int faa,int val){
    int v;
    dis[u]=val;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        v=edge[i].v;
        if(v==faa) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        fa[v][0]=u;
        for(int j=1;j<=ci;++j) fa[v][j]=fa[fa[v][j-1]][j-1];
        dfs(v,u,val+1);
    }
}

int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=ci;i>=0;--i)
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=ci;i>=0;--i)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

int main(){
    int n,u,v,siz,x;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    top=0;
    int q;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v),add(v,u);
    }
    dep[1]=1;
    dfs(1,0,0);
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        int maxx=0,mm;
        scanf("%d",&siz);
        for(int i=1;i<=siz;++i){
            scanf("%d",&x);
            vv.push_back(x);
            if(dis[x]>maxx){
                maxx=dis[x];
                mm=x;
            }
        }
        if(siz==1){
            printf("0\n");
        }
        else{
            maxx=0;
            u=mm;
            for(int i=0;i<vv.size();++i){
                v=vv[i];
                int z=lca(u,v);
                maxx=max(maxx,dis[u]+dis[v]-2*dis[z]);
            }
            printf("%d\n",maxx/2+(maxx&1?1:0));
        }
        vv.clear();
    }
    return 0;
}