蒙特卡洛方法解非线性规划问题

最新推荐文章于 2023-05-30 17:19:58 发布

pysrc

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分类专栏：算法文章标签：蒙特卡洛算法 NLP 非线性规划

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本文介绍使用蒙特卡洛方法求解非线性规划问题的过程，特别是求解一个平面上由三条绳子连接三个圆构成的三角形周长最小值问题。文章对比了Lingo软件和蒙特卡洛方法的效率，并提供了R语言实现。

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蒙特卡洛方法解非线性规划问题

蒙特卡洛算法定义: 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。详情蒙特卡洛算法-百度百科。

这里我们将用蒙特卡洛方法求解一个非线性规划问题（以下简称NLP），NLP问题没有通用的解法，用Lingo解决这类问题是可行的，但是当运算量增大时，Lingo运行的效率并不高，往往花费大量时间在迭代上。有关NLP问题更多请见非线性规划-百度百科。

让我们想像一下这个问题，一个平面上有三个圆，那么如果用一条绳子将它们连接起来，那么这条绳子最短长度是多少呢？

首先我们给出三个圆在直角坐标系下的方程如下：

然后，哦！说好的绳子呢？别着急，这根绳子是这样一个约束，即一个过三个圆的三角形的周长，我们的目的是使这个三角形的周长最短。嗯！那么怎样实现呢？我想直角坐标系下两点的距离公式大家应该都记得，没错，就是它！因此，我们得到的目标函数是这个样子的：

是不是很简单？那么让我们求一下这个最小值吧，当然，最开始我将先用Lingo演示一下这个NLP问题的求法，程序如下：

min=@sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)+@sqrt((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)+@sqrt((x2-x3)^2+(y2-y3)^2);
(x1-5)^2+(y1-4)^2<=4;
(x2+5)^2+(y2+3)^2<=1;
(x3+1)^2+(y3-1)^2<=1;
@free(x1);
@free(y1);
@free(x2);
@free(y2);
@free(x3);
@free(y3);

结果是这个样子：

  Global optimal solution found.
  Objective value:                              18.41311
  Objective bound:                              18.41311
  Infeasibilities:                              0.000000
  Extended solver steps:                           43282
  Total solver iterations:                       4232645


                       Variable           Value        Reduced Cost
                             X1        3.361536            0.000000
                             X2       -4.180768          -0.2860243E-08
                             Y1        2.853075            0.000000
                             Y2       -2.426538            0.000000
                             X3      -0.2861699            0.000000
                             Y3       0.2996811            0.000000

                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1        18.41311           -1.000000
                              2        0.000000           0.5000000
                              3        0.000000            1.000000
                              4        0.000000            0.000000

可以看到，最小值是18.41311对应的坐标如上。

这个解起来挺复杂的，大概五六分钟的样子吧！嗯，像急性子的我可忍不了！让我们改进一下，用蒙特卡洛方法试一试。

解法如下：

1.在三个圆对应的矩形区域分别产生10万个模拟点（不高兴的话可以产生100万个或者更多）。

2.筛选出落在圆区域内的点。

3.分别从三个圆中选出一个点，计算它们组成的三角形的周长（总共10万个三角形）。

4.选出最小的周长对应的三角形，至此算法结束。

好了，Show me the code！

对应的R语言程序如下（当然也可以用其他语言，只是R操作随机数更方便）：

rm(list = ls())
n<-100000#产生n个模拟点
x1<-runif(n,3,7)
y1<-runif(n,2,6)
x2<-runif(n,-6,-4)
y2<-runif(n,-4,-2)
x3<-runif(n,-2,0)
y3<-runif(n,0,2)
d<-data.frame(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
r<-subset(d,(x1-5)^2+(y1-4)^2<=4&(x2+5)^2+(y2+3)^2<=1&(x3+1)^2+(y3-1)^2<=1)
#结果列表
rlist<-sqrt((r$x1-r$x2)^2+(r$y1-r$y2)^2)+sqrt((r$x1-r$x3)^2+(r$y1-r$y3)^2)+sqrt((r$x2-r$x3)^2+(r$y2-r$y3)^2)
rindex<-which.min(rlist)#最小值下标
cat("最小值=",rlist[rindex],"\n")
cat("x1=",r$x1[rindex],"\ny1=",r$y1[rindex],"\nx2=",r$x2[rindex],"\ny2=",r$y2[rindex],"\nx3=",r$x3[rindex],"\ny3=",r$y3[rindex])

这个的结果是这样的：

d=18.592
x1= 3.29677 
y1= 2.98348 
x2= -4.289648 
y2= -2.388063 
x3= -0.4919087 
y3= 0.2215853

差距不大吧，试着多运行几遍，每次都不一样，但最终收敛于最小值附近。

当然，上面的做法实际上大多数圆内的点都浪费了，因此，我们可以用参数方程的形式做得更好，具体的做法看代码：

rm(list = ls())
n<-100000#产生n个模拟点
theta<-runif(n,0,2*pi)#产生一个周期的角度
x1<-2*cos(theta)+5
y1<-2*sin(theta)+4
theta<-runif(n,0,2*pi)#产生一个周期的角度
x2<-cos(theta)-5
y2<-sin(theta)-3
theta<-runif(n,0,2*pi)#产生一个周期的角度
x3<-cos(theta)-1
y3<-sin(theta)+1
r<-data.frame(x1,x2,x3,y1,y2,y3)
rlist<-sqrt((r$x1-r$x2)^2+(r$y1-r$y2)^2)+sqrt((r$x1-r$x3)^2+(r$y1-r$y3)^2)+sqrt((r$x2-r$x3)^2+(r$y2-r$y3)^2)
rindex<-rindex<-which.min(rlist)#最小值下标
cat("最小值=",rlist[rindex],"\n")
cat("x1=",r$x1[rindex],"\ny1=",r$y1[rindex],"\nx2=",r$x2[rindex],"\ny2=",r$y2[rindex],"\nx3=",r$x3[rindex],"\ny3=",r$y3[rindex])

这样解出来的结果如下：

d=18.41324
x1= 3.366913 
y1= 2.845432 
x2= -4.183414 
y2= -2.422776 
x3= -0.4521829 
y3= 0.1634019

是不是跟实际的很接近了？这就是蒙特卡洛算法的奇特之处了。怎么样，感觉很easy对不对？